Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства

Ответ. .

1.12 Уравнения и неравенства, содержащие модули

I. Определение и свойства функции |х|.

Определение.

Пример. |1,5| = 1,5; |-5| = -(-5) = 5.

Из определения модуля следует, что 22 src="images/referats/642/image427.gif">при любых х.

Свойства модуля: для любых вещественных х и у справедливы следующие свойства:

1. |x|

2.

3. |-x|=|x|

4. |x+y|

5. ||x|-|y||

из 1 следует, что

Геометрически величина задает расстояние между точками х и у на вещественной оси.

График функции у =

Пусть имеется произвольная функция у = f(x), из определения модуля следует, что:

Отметим правило построения графика функции у = .

1) Сначала строим график функции у = f(x).

2) Там, где график функции у = f(x) лежит выше оси ОХ или на ней, оставляем без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси ОХ, заменяем симметричными им относительно оси ОХ точками.

Отметим, что в силу четности функции всякая функция f( также будет четной.

Пример.

1. Строим .

2. Строим по указанному правилу.

II. Схема решений уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей

Например, пусть требуется решить неравенство:

1) Находим вещественные корни выражений, стоящих под модулем, то есть решаем уравнения

Пусть все вещественные корни этих уравнений. Нанесем эти корни на числовую ось. Они разобьют ось на (k + 1) промежутков.

Будем предполагать, что функции и непрерывны на всей числовой оси, тогда значения этих функций будут сохранять свои знаки на каждом из указанных промежутков.

Чтобы определить знак значений и на каком-либо промежутке , достаточно вычислить и в любой точке ; знаки этих чисел совпадают со знаками значений функций и соответственно на всем промежутке (так же можно поступить и на лучах

Hb

Рис. 1.

2) Определяем знаки выражений, стоящих под модулями, на каждом таком промежутке. Пусть это будет как на рис. 1. Тогда первоначальное неравенство (или уравнение) станет равносильным совокупности следующих (k + 1) систем:

Ответ:

Под обозначением понимается множество решений системы с номером i.

Итак, сформулируем теперь в виде краткого алгоритма общую схему решения уравнений и неравенств со знаком модуля, которая была проиллюстрирована выше.

Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее знаки модуля, достаточно:

1) разбить всю область определения уравнения или неравенства на участки, на каждом из которых все выражения, которые стоят под модулем, сохраняют знаки.

2) пользуясь определением функции у = , раскрыть на каждом из таких участков все знаки модулей.

3) решить получившиеся уравнения или неравенства.

4) отобрать из полученных решений все те решения, которые входят в рассматриваемый участок.

5) в ответе указать объединение всех решений, полученных на каждом из участков.

В некоторых задачах под знаком модуля могут находиться выражения, содержащие в свою очередь знаки модулей. В этом случае раскрытие модулей удобно производить последовательно, начиная с самого «внутреннего» знака модуля.

Пример 1. Пусть требуется решить уравнение

Применим предложенный алгоритм.

Рис. 2.

Приведем, сначала, подобную схему решения.

Согласно рис. 2, первоначальное уравнение равносильно совокупности следующих пяти систем:

Ответ:

Замечание: Заметим, что данное решение можно было записать короче, объединив рассмотрение случаев 1) и 5) в одну систему, а случаев 2) и 4) в другую систему.

 Скачать реферат