Точные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание

Постановка задачи

1. Введение

2. Точные методы решения СЛАУ

3. Практическая реализация метода Халецкого

3.1 Программа на языке Pascal

3.2 Решение в Excel

Заключение

Литература

Приложение

Постановка задачи

Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя точный метод численного решения (схему Халецкого).

lign="center" >1. Введение

Существует несколько способов решения таких систем, которые в основном делятся на два типа: 1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы, 2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов.

Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньший числа неизвестных, то система имеет бесконечно решений.

Пример системы линейных уравнений:

Или в матричном виде: ,

где матрица коэффициентов системы;

- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.

2. Точные методы решения СЛАУ

Метод главных элементов.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов системы a[i,j] и свободных членов b[i]. Метод главных элементов - это обобщение метода исключения переменных (метода Гаусса). Обозначим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов исходной системы за M.

Выбираем наибольший по модулю элемент, не принадлежащий столбцу свободных членов. Пусть это будет . Этот элемент называется главным элементом, а строка, в которой он находится, называется главной строкой.

Вычисляются множители:

Далее производим следующие преобразования: к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель для этой строки. В результате мы получим матрицу, у которой q-й столбец состоит из нулей. Отбросим этот столбец и главную p-ю строку, получим новую матрицу с меньшим на единицу числом строк и столбцов. Над матрицей повторяем те же операции, после чего получаем матрицу и т.д. Таким образом, мы построим последовательность матриц

последняя, из которых представляет двучленную матрицу - строку, её также будем считать главной строкой. Для определения неизвестных объединяем в систему все главные строки, начиная с последней. После надлежащего изменения нумерации неизвестных получается система с треугольной матрицей, из которой легко шаг за шагом найти неизвестные данной системы.

Заметим, что метод Гаусса является частным случаем, метода главных элементов, а схема метода Гаусса получается, если за главный элемент всегда выбирать левый верхний элемент соответствующей матрицы. Запрограммировать метод главных элементов непросто, поэтому чтобы уменьшить вычислительную погрешность, применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Необходимое условие применения метода главных элементов: определитель системы не равен нулю.

Метод квадратных корней

Метод квадратных корней разработан для решения линейных систем с симметричной матрицей коэффициентов. Пусть дана линейная система

Ax=b,

где или (симметрическая матрица).

Симметричную матрицу можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц

A=T'*T,

Перемножим матрицы T' и T. Из T' i-ю строку из T j-тый столбец, получим следующие уравнения:

Последовательно находим:

После подстановки в систему, последняя распадается на две системы с треугольными матрицами.

Решим систему T'*y=b. Запишем её в развёрнутом виде:

Отсюда последовательно находим

Решаем систему T*x=y, записав её в развёрнутом виде:

Решение имеет вид

Прямым ходом с помощью формул вычисляются t[i,j] и y[i], обратным ходом по формуле находятся x[i].Текущий контроль прямого хода осуществляется с помощью так называемых "контрольных сумм", которые представляют собой сумму элементов строк матрицы исходной системы, включая свободные члены. Если над контрольными суммами в каждой строке проделывать те же операции, что и над остальными элементами этой строки, то при отсутствии ошибок в вычислениях сумма преобразованных элементов равна преобразованной сумме. Обратный ход контролируется следующим образом: если в формулах для определения вместо столбца свободных членов взять соответствующие элементы из столбца контрольных сумм, то получим новые неизвестные, которые обозначим'.

При отсутствии ошибок '-=1.

Метод Халецкого

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде:

,

где A=[aij] – квадратная матрица порядка n и

, - векторы-столбцы.

 Скачать реферат