Трисекция угла

Содержание

Введение

Общие сведения

Трисекция угла

Определение

Задача

Общее доказательство о трисекции угла

Антипаралеллерограмм

Заключение

Библиография

Введение

Владение знаниями по геометрии способствует формированию всесторонне развитой, социально активной личности, открывает доступ к культурным и научным ценностям других народов, обе

спечивает установление деловых и культурных связей.

В современном обществе стремительно растет потребность в изучении геометрии: увеличивается количество сфер повседневного и профессионального общения.

Происходящие сегодня изменения в общественных отношениях, средствах коммуникации, использование новых информационных технологий, значительное расширение международных контактов в различных сферах человеческой деятельности привели к тому, что геометрия стала более востребованной, распространенной и популярной.

Геометрия - наука международная, знать которую необходимо в наше время каждому образованному человеку, каждому хорошему специалисту.

Изучая любую математическую науку, очень важно знать особенности и свойства данной сфере. Между тем школьные учебники, в силу требований программы, не всегда содержат достаточное количество материала, который позволял бы целенаправленно и полноценно изучить такой предмет как геометрия.

Здесь мы выявили проблему - наблюдения показали, что в условиях недостаточного материала в школьных учебниках, следует усовершенствовать знания и навыки учащихся в области изучения геометрии. Исходя из проблемы, можно сформулировать тему исследования - "Трисекции угла".

И поэтому целью нашего исследования является изучение Трисекции угла, начиная с определения и заканчивая доказательством.

Следовательно, для достижения поставленной цели мы решили ряд задач:

● получить информацию о трисекции угла и антипараллелограмме;

● выявить теорему и доказать её;

● установить зависимость между трисекцией угла и антипараллелограммом. Объектом данного исследования является изучение трисекция угла.

Предмет нашего исследования - решение задач с помощью трисекции угла.

При выполнении нашего исследования использовались следующие методы:

● изучение отечественной литературы;

● анализ полученной информации;

● использование информационных технологий, в частности, Интернет.

Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, библиографии.

Данная работа является актуальной, полезной и технологичной не только для учащихся, но и для учителей алгебры и геометрии.

Общие сведения

Задача о трисекции угла состоит в том, чтобы разделить данный угол на три равные части.

Вместе с еще двумя классическими задачами на построение - удвоении куба и квадратуры круга - задача о трисекции угла пришла из Древней Греции и на протяжении многих столетий занимала умы людей. Неоднократно пытались решить эти три задачи с помощью освященных евклидовой геометрией инструментов - циркуля и линейки. Между тем, уже в древности математики догадались, что при использовании только циркуля и линейки эти задачи неразрешимы, а позднее это было и доказано. Попытки расширить инструментарий оказали большое влияние на древнегреческую математику, привели и к первым исследованиям конических сечений, и к исследованию сложных кривых, и к построению интересных инструментов.

Почему возникла задача о делении угла на три равные части? Вероятно потому, что на такое число частей приходилось делить произвольный прямоугольный отрезок. Это деление выполняется достаточно просто, как просто выполняется деление не только на три, но и на произвольное число частей. Снова математические ассоциации естественным путем приводят к мысли о возможности перенесения операции деления с отрезка прямой на иные геометрические образы. В данном случае, рассматривая угол как центральный, мы можем представить задачу о делении угла на три равные части как задачу о делении на такие части дуги окружности, на которую угол опирается (рис. 1).

Рис. 1

Итак, можно или нельзя с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части дугу окружности? Циркулем и линейкой задача не решена. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить, т.е. разделить на три равные части произвольный угол. Это не будут, конечно, решения, соответствующие тем требованиям, которые были поставлены, но это будет, очевидно, определенным приобретением в математике. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых. Одной из них является спираль Архимеда.

Представим себе равномерно вращающийся патефонный диск, по радиусу которого равномерно ползет муха, причем движение свое она начинает с центра диска. Какую кривую будет описывать муха? Дадим название для такой кривой - спираль Архимеда. Для того, кто знаком с методом координат, не составит труда написать уравнение спирали (рис. 2).

Рис.2

С этой целью воспользуемся полярной системой координат, которая строится так. На плоскости берется произвольная направленная полупрямая (полярная ось). Тогда, если M - произвольная точка плоскости, то сопоставим с нею два числа - отрезок OM=0, называемый полярным радиусом - вектором, и угол, называемый полярным углом и отсчитываемый против движения часовой стрелки от полярной оси до полярного радиуса - вектора.

Числа, называются полярными координатами точки M, а соответствие между точками плоскости и их полярными координатами - полярной системой координат. Точка O называется полюсом системы.

Примем то положение вращающегося радиуса, которое соответствует пребыванию мухи в центре диска, за полярную ось, тогда центр диска совпадает с полюсом, а расстояние, которое муха проползет по радиусу (полярный радиус вектор), будет пропорционально углу, на который повернется этот радиус (полярный угол). Спираль имеет вид, представленный на (рис. 2).

Трисекция угла

Историческая справка.

Задача трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. В дальнейшем было также доказано, что угол вида a =p /2n, где nI N, можно разделить на три равные части. Р. Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек.

Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем.

Следствия, открытые в процессе решения задачи о трисекции угла.

В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц. В 16 веке французский математик Ф Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения.

Определение

 Скачать реферат