Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

В гармонии, в частности, изучалась связь между размерами струн и высотой их звучания. Пифагор знал, что длины струн, дающих ноты мажорного трезвучия (до, ми, соль), связаны с числами 1, и . Здесь – сред

нее гармоническое чисел 1 и .

Так если открытую гитарную струну (AD=60 см, рис 12) настроить на до, зажатые струны (CD=48 см, BD=40 см) дадут соответственно ми и соль. Легко видеть, что

,

т.е. четверка точек A, B, C, D – гармоническая.

Рис 12

Гармонические четверки точек часто встречаются в геометрии окружностей.

Например, для двух окружностей разного радиуса с центрами и внутренний и внешний центры гомотетии (точки H и S соответственно) делят отрезок в одинаковом отношении (рис. 13), т.е.

.

Это равенство следует из подобия изображенных на рисунке прямоугольных треугольников.

Рис 13

Если же окружности имеют равные радиусы (рис. 14), то внешний центр S гомотетии как бы устремлен в бесконечность (бесконечно удален). Договоримся и в этом случае считать четверку точек гармонической.

Рис 14

Занятие 2. Перспектива

Рассмотрим рис. 15. Пусть изображенные на нем точки A, B, C, D образуют гармоническую четверку. Они видны из точки S как бы сквозь точки другой прямой.

Рис. 15

Такое расположение точек называют перспективным (от лат. perspicere – смотреть сквозь), а точку S – центром перспективы. В этом случае говорят, что ряд точек проектируется из центра S в ряд точек и наоборот, второй ряд точек проектируется в первый.

Оказывается, сквозь гармоническую четверку точек одной прямой можно увидеть только гармоническую четверку точек другой прямой.

Утверждение 1.

Если , то (рис. 15).

Доказательство. Опустим из центра перспективы на прямую AD перпендикуляр SH и рассмотрим треугольник с общей вершиной S и основаниями, лежащими на прямой AD (рис. 15). Поскольку треугольники имеют общую высоту, их основания относятся как площади фигур.

Для треугольника ASC и BSC имеем:

откуда

Для треугольников BSD и ASD имеем:

Перемножив почленно левые и правые части двух последних равенств, получим:

.

Аналогично, опустив перпендикуляр на прямую и рассмотрев соответствующие треугольники, можно доказать, что

.

По условию , значит, и .

Замечание 1. При проектировании гармонической четверки точек прямые оказались связаны зависимостью . Такую четверку прямых будем называть гармонической.

Итак, прямые проходящие через центр проектирования и четверку гармонически расположенных точек, образуют гармоническую четверку. Верно и обратное: если прямые, проходящие через центр проектирования, гармонически расположены, то четверка точек, образующаяся при их пересечении некоторой прямой, также будет гармонической.

Замечание 2. Если четверка точек одной прямой не является гармонической, а – перспективная с ней четверка точек, то и в этом случае

.

Иначе говоря, значение произведения сохраняется при центральном проектировании.

Занятие 3. Теорема о трех окружностях

Итак, мы выяснили, что такое гармоническое расположение четырех точек прямой, и установили, что оно сохраняется при перспективе. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Если две гармонические четверки точек и имеют общую точку , то для них найдется общий центр перспективы.

Доказательство. Пусть прямые и пересекаются в некоторой точке. Покажем, что она и есть искомый центр перспективы (рис. 16).

Действительно, в противном случае прямая пересекла бы прямую не в точке , а в какой-то другой точке X. Тогда согласно утверждению 1, точка X делила бы отрезок в том же отношении, что и точка D а, значит, и точка , что невозможно. Следовательно точки X и совпадают, а S – искомый центр перспективы.