Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

Приложение 2

Элементы проективной геометрии на факультативе в школе

Что такое проективные свойства фигур? Это те свойства, которые сохраняются при центральном проектировании, когда проектирующие лучи не параллельны некоторой фиксированной прямой, а выходят из заданной точки пространства, называемой центром проектирования.

Параллельное проектирование – своего рода частн

ый случай центрального проектирования, если считать, что центр проектирования бесконечно удален. Наша цель – познакомить школьников на доступном уровне с некоторыми свойствами центрального проектирования и их практическими применениями.

Проективные теоремы и задачи

В геометрии встречаются свойства фигур различной природы: метрические, аффинные, проективные.

Как же распознать проективные теоремы и задачи? Как правило в их условии речь идет о взаимном расположении точек и прямых и часто требуется доказать, что некоторые три прямые имеют общую точку или что три характерные точки лежат на одной прямой. Например: «Даны три окружности. Докажите, что точки A, B и C пересечения общих касательных к парам этих окружностей лежат на одной прямой ». К проективным относятся упоминающиеся в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и др. теоремы Паскаля, Брианшона и некоторые другие утверждения.

О возможностях использования элементов проективной геометрии в школе

Умение распознавать природу тех или иных рассматриваемых свойств фигур способствует успешному решению самых разных геометрических задач.

Если задача метрическая, то нужно ввести обозначения длин отрезков и величин углов, выбрать подходящий треугольник (или другую фигуру) и составить связывающие её элементы тригонометрические соотношения и т.д. Аффинную задачу проще рассмотреть на некоторой параллельной проекции исходного чертежа. А вот задачу на проективные свойства фигур целесообразно решать средствами проективной геометрии, позволяющими быстрее достичь цели.

С помощью теорем проективной геометрии удается легко справиться и с другими задачами, которые не являются чисто проективными, однако имеют «близкое происхождение». Это касается, например, такой задачи: «Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны».

Кроме того, свойства центрального проектирования имеют важное практическое значение. В частности, они нашли широкое применение в живописи. Знание этих свойств помогает понять геометрические основы законов изображения предметов в линейной перспективе, которыми уже несколько столетий пользуются художники, пишущие в реалистической манере.

Проективные свойства фигур довольно сложны и малопригодны в учебном процессе, но некоторые из них могут быть рассмотрены на факультативе. Ниже предлагаются разработки нескольких таких факультативных занятий. Их главная цель – расширить кругозор школьников, познакомив их с элементами проективной геометрии.

Занятия рассчитаны на учащихся, освоивших курс планиметрии в рамках учебника Л.С. Атанасяна и др., но не изучавших на уроках приложений к учебнику. Приложение 4 «Некоторые замечательные теоремы планиметрии» содержат интересующие нас утверждения и задачи на доказательство (отличающиеся повышенным уровнем сложности), например упомянутую задачу о трех окружностях. Помимо неё, рассмотрим еще две-три задачи, которые будут интересны ученикам, а также затронем вопросы проективной геометрии, тесно связанной с живописью и гармонией (учением о музыке). Отметим, что из содержания материала были исключены те специальные термины и факты, без которых можно было обойтись при достижении поставленной цели.

Занятие 1. Гармония отрезков

На рис. 10 точка C отрезка AB делит его в отношении 3 : 1, т.е. . Иначе говоря, точка C находится в три раза ближе к B, чем к A. На прямой AB существует еще одна точка (назовем её D), которая обладает таким же свойством. Говорят, что точка D делит отрезок AB в том же отношении, но только внешним образом:

.

Рис 10.

Четверку точек A, B, C, D будем называть гармонической. Отметим, что важен порядок перечисления точек в четверке. В нем заключена информация о том, что точки C и D делят отрезок AB в одинаковом отношении. Говорят также, что первая пара элементов (A,B) разделяет вторую – (C,D).

Очевидно, что существует бесконечно много гармонических четверок точек. Например, на рис. 11

.

Рис. 11

Для каждой такой четверки характерно, что

.

Верно и обратное: если точки A, B, C, D удовлетворяют такому соотношению, то они гармонически расположены.

Комментарий. Здесь и далее мы не вводим определение четырех точек с его правилом знаков. Будем говорить лишь о делении отрезка в одинаковом отношении, т.е. «гармонии отрезков».

Происхождение названия непосредственно связано с музыкальной гармонией. Как известно, во времена Пифагора в «математику» включили четыре раздела: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (от греч. слаженный, соразмерный). Для чисел a и древние греки вводили не только среднее арифметическое и среднее геометрическое , но и среднее гармоническое . Отсюда происходит название гармонического ряда – числового ряда , каждый член которого есть среднее гармоническое соседних членов.