Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

1) Когда четверка точек A, B, C, D (прямых a, b, c, d) называется гармонической?

– Четверка точек (прямых) называется гармонической, если , ().

2) Какая фигура называется полным четырехвершинником?

– Фигура, образованная четырьмя точками общего положени

я и шестью прямыми их попарно соединяющими, называется полным четырехвершинником. Данные точки его вершины, указанные прямые – его стороны.

3) Постройте полный четырехвершинник и выпишите его противоположные стороны, диагональные точки, диагонали

Рис

– и , и , и – пары противоположных сторон.

–, , – диагональные точки.

–, , – диагонали.

4) Рассказать теорему о полном четырехвершиннике и указать на рисунке расположение всех гармонических точек (прямых).

Теорема. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:

1) на каждой диагонали имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат диагональные точки, а другой парой – точки пересечения этой диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональную точку;

2) на каждой стороне имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат вершины, а другая пара образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки;

3) через каждую диагональную точку проходит гармоническая четверка прямых, в которой одной парой служат противоположные стороны, а другой диагонали.

3. Закрепление теоретического материала на практике.

На этом этапе проведения занятия используется мультимедиапроектор. При рассмотрении полного четырехвершинника и решении задач можно увидеть построение на экране, с помощью моделирующей программы.

Задача №1.

Используя свойства полного четырехвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.

Задача №2.

Даны две прямые и точка , не лежащая ни на одной из них. Через точку проведены две прямые и : Доказать, что точка при любом выборе прямых и лежит всегда на одной и той же прямой , проходящей через точку .

Задача №3.

Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; – разделяет ; – разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

Задача №4.

На прямой даны три точки . Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку .

Задача №5.

Даны три прямые пучка (рис. 5). Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую прямую .

4. Самостоятельная работа.

Работа выполняется в течении 20 минут. Она пишется на отдельных листочках, которые после написания сдаются преподавателю на проверку. Она включает в себя два варианта, по одному заданию в каждом. Данная самостоятельная работа проводится в конце второго практического занятия. Если студенту что-либо не понятно, то ему предлагается прийти на дополнительное занятие по этому предмету, где ему будет объяснён материал ещё раз.

Вариант №1.

Найти координаты точки С в репере на прямой, если в этом репере: A(2;3), В(-1;1), D(-3;5), а сложное отношение

Вариант №2.

Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(5;12), B(9;3), C(10;7). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

5. Запись домашнего задания.

Домашнее задание даётся под запись.

1) Построены диагональные точки полного четырехвершинника , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; – разделяет ; – разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек