Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

Таким образом, 24 перестановки букв A, B, C, D распадаются на шесть четвёрок, каждой из которых соответствует одно и тоже значение сложного отношения. Следовательно, сложное отношение данных четырёх точек не более шести различных значений:

1) ,

2) width=324 height=41 src="images/referats/29601/image247.png">,

3) ,

4) ,

5) ,

6),

где ,.

В нашем случае сложное отношение принимает следующие шесть значений:

Задача №2

Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;1), B(2;11), C(1;9). Они лежат на одной прямой. Найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Решение:

Пусть в репере . Согласно формуле (3) получаем:

Но, по условию известно, что . Тогда

Значит, искомая точка D(1,3).

Задача №3

Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(-3;1), B(2;11), C(1;9). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Решение:

(4;8), (1;2), тогда . , , тогда По формуле (6): Получаем:

, откуда: , .

Значит, D(7,21).

Задача №4

Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(1;0;2), B(3;-1;1), C(0;2;3), D(1;1;-2), заданные в репере плоскости.

Решение:

Спроектируем точки A, B, C, D на прямую из центра . Получим . При этом . Тогда:

.

Аналогично, при проецировании из центра , имеем:

.

При проецировании из центра , имеем:

.

Так как во всех трёх случаях получили разные результаты, то можно сделать вывод, что точки не лежат на одной прямой.

Задача №5 Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(4;3), B(5;6), C(-2,1), D(7,13). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Задача №6 Найти координаты точки B в репере на прямой, если в этом репере: A(-4;0), C(1;10), D(0;8), а сложное отношение

Задача №7 Три точки заданы своими аффинными координатами: A(-4;0), B(3;6), C(5;9). Они лежат но одной прямой. Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

Задача №8.

Используя свойства полного четырёхвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.

Решение:

Пусть продолжение боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке E,а диагонали – в точке F (рис. 5). Прямая EF пересекает основания трапеции AB и CD в точках M и N соответственно. Требуется доказать, что точки M и N являются серединами оснований.

Рис. 5

Рассмотрим полный четырёхвершинник ABCD. Точки E и F являются его диагональными точками. Третьей диагональной точкой является несобственная точка параллельных сторон AB и CD. Так как, на каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек, то четвёрка точек - гармоническая; значит . В силу того, что – несобственная точка прямой AB, значение сложного отношения , то есть, последнее равенство равнрсильно следующему: . Значит, что M есть середина отрезка AB. Точно так же доказывается, что N середина отрезка CD.

Задача №9.

Даны две прямые и точка , не лежащая ни на одной из них. Через точку проведены две прямые и : Доказать, что точка при любом выборе прямых и лежит всегда на одной и той же прямой , проходящей через точку .