Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных выхода и входа при нулевых начальных условиях W(s)=Y(s)/F(s), где интегральное преобразование Лапласа определяется так:

Преобразуя дифференциальное уравнение (1) при нулевых началь

ных условиях, получаем алгебраическое уравнение для изображений:

A(s)Y(s) = B(s)F(s).

Отсюда следует, что передаточная функция легко записывается по дифференциальному уравнению

W(s) = B(s)/A(s) (3)

и, наоборот, по передаточной функции сразу записывается дифференциальное уравнение.

Зная передаточную функцию и изображение переменной входа, легко найти изображение выхода

Y(s) = W(s)F(s).

Пример. Пусть система описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

Преобразуем это уравнение по Лапласу, для чего воспользуемся свойством линейности оператора преобразования L, а также теоремой о дифференцировании оригинала:

a2(s2Y(s) – sy(0) – y¢(0)) + a1(sY(s) – y(0)) + a0Y(s) = b0F(s).

Последнее уравнение перепишем в следующем виде:

(a2s2 + a1s + a0)Y(s) = b0F(s) + a2sy(0) + a2y'(0) + a1y(0).

При нулевых начальных условиях y(0) = y'(0) = 0 отношение изображений, т.е. передаточная функция

Оператор, связывающий вход и выход, можно задать коэффициентом и множествами нулей (корней полинома) zj; j = 1, …, m и полюсов (корней полинома знаменателя) pi; i = 1, …, n. Передаточная функция будет равна:

(4)

В отличие от полиномиальной формы (3) форму задания передаточных функций (4) иногда называют факторизованной.

Вводится понятие структуры оператора преобразования. Для дифференциального уравнения n-го порядка (1) и передаточной функции (3) задание структуры означает задание целых чисел – степеней n = deg A и m = deg B – полиномов А и В.

Параметрами оператора являются коэффициенты полиномов.

Временные характеристики являются одной из форм представления операторов преобразования переменной f(t) в переменную y(t). Импульсная переходная функция, или функция веса w(t) – реакция системы на единичный идеальный импульс (рис.4, а) при нулевых начальных условиях. переменная выхода определяется как интеграл свертки:

(5)

т.е. в этом случае оператор преобразования имеет форму интегрального уравнения.

Другая часто употребляемая временная характеристика – переходная (рис.4, б) характеристика h(t) – реакция системы на единичную ступенчатую функцию1(t) при нулевых начальных условиях. На рис.4 приведен примерный вид временных характеристик для системы второго порядка.

Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависимость параметров установившихся реакций на гармонические сигналы всех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частота установившейся реакции совпадают с входом. Комплексная частотная характеристика W() дает возможность определить амплитуду и фазу гармонического сигнала на выходе системы по значению частоты:

(6)

где и j(w) = = argW(jw) – амплитудная и фазовая частотные характеристики; , и – вещественная и мнимая частотные характеристики.

На рис.5. изображен пример годографа W, называемого амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Реальные объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы – ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг.

Амплитудно-частотные характеристики удобно представлять в логарифмическом масштабе: Если частота изменяется в логарифмическом масштабе, то логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) во многих практически важных случаях мало отличаются от прямолинейных асимптот с наклонами, кратными 20 дБ/дек. На рис.6 приведен примерный вид асимптотической ЛАЧХ; штриховая кривая – точная ЛАЧХ. Там же указаны наклоны асимптот в децибелах на декаду.

Хотя за основу задания динамических свойств систем может быть принята любая из форм представления операторов, для конкретных исследований та или иная форма оказывается более рациональной и возникает необходимость перехода от одной формы к другой. Многие задачи анализа связаны с преобразованием формы представления оператора. В ряде случаев эта процедура составляет наиболее трудоемкий этап анализа – построение частной модели, т.е. приведение к форме, позволяющей непосредственно вычислить показатели качества и вывести суждение о соответствии поведения системы заданным требованиям (например, построение временных или частотных характеристик системы управления).

Наиболее прост формальный переход путем замены оператора дифференцирования на комплексный аргумент s от дифференциального уравнения (2) к передаточной функции (3) и обратно. Осуществляя переход к передаточным функциям, следует избегать сокращения общих делителей полиномов числителей и знаменателей, т.е. диполей рациональных функций. Такое сокращение при водит к потере части собственных составляющих движения при ненулевых предначальных условиях (составляющих свободных движений).

По временным и/или частотным характеристикам, полученным экспериментально, оценивают параметры передаточных функций или ординаты характеристик иного типа. Такие переходы оказываются неоднозначными, а их результаты зависят от выбора структуры оператора и алгоритма обработки данных.

2.2 Построение временных характеристик

Временные характеристики – импульсная переходная функция w(t) и переходная характеристика h(t) могут быть получены экспериментально, если удается подать на вход объекта воздействие в виде достаточно узкого импульса с необходимой амплитудой или ступенчатой функцией времени. Последнее более реально – функцию веса w(t) впоследствии можно получать дифференцированием функции h(t).

 Скачать реферат