Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

3) – -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа неабелева,

то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если абелева, то она элементарна;

7) если , то – экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если – -абнормальная максимальная подгруппа группы и – некоторый полный локальный экран , то – минимальная не -группа и либо , либо .

Доказательство. 1) Пусть – минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, – минимальная нормальная подгруппа . Так как – формация, то, нетрудно заметить, что – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что – главный -фактор. Покажем, что – -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где – содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда

Отсюда и из насыщенности получим . Но тогда , что невозможно.

Пусть – главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

Обозначим через коммутант группы . Так как – -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как

 Скачать реферат