Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.

Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть – п

роизвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

для всех элементов ,из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :

Значит, отображение является -эндоморфизмом группы . Так как

то -гиперцентральна в . Вспоминая, что – -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.

Пусть . Тогда

где . Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.

Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .

По теореме 7.11 из [5],

Так как , то

Ввиду того, что и – главный фактор , имеем . Итак, . Пусть – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

Не ограничивая общности, положим . Тогда – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но – -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место

то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда

и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е. – минимальная не -группа.

 Скачать реферат