Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

1) если – подгруппа группы и , то -субнормальна в ="images/referats/7473/image003.png">;

2) если -субнормальна в , – подгруппа группы , то -субнормальна в ;

3) если и -субнормальные подгруппы , то – -субнормальная подгруппа ;

4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

6) если – -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .

Лемма. Пусть – непустая формация, – подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;

2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .

3. Формации с решеточным свойством

Лемма [1]. Пусть – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) группа принадлежит , если , – -субнормальные -подгруппы группы ;

3) – формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.

Установим, что из 1) следует 2).

Пусть – контрпример минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и .

 Скачать реферат