Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Положим , , ,…, . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь

является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

Лемма. Если субнормальна в , а – нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Следовательно, цепь

будет субнормальной.

Действительно, так как и , то . Лемма доказана.

Лемма. Если подгруппы и субнормальны в и , топроизведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. Если нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.

Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .

Пусть – каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь

будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,…, (по определеделению).

Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема. Если и – субнормальный подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .

Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .

 Скачать реферат