Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого формация обладает решеточным свойством для ight=24 src="images/referats/7473/image434.png">-субнормальных подгрупп.

Пусть формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также является формацией Фиттинга.

Пусть – -субнормальная подгруппа группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что и . Следовательно,

Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

Докажем утверждение 2). Пусть формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа , где , – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как – насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что

Отметим также, что

где – изоморфные простые группы для .

Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции

Рассмотрим пересечение . Если

то

Отсюда и из того факта, что – нормальная подгруппа и следует, что .

Пусть . Так как – нормальная подгруппа из , то – нормальная подгруппа из . А это значит, что

Из наследственности формации и получаем, что . Но тогда .

Из строения и

для любых , следует, что для некоторого . Так как

 Скачать реферат