Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Рефераты / Математика / Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Отсюда следует, что

Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть и – dth=17 height=17 src="images/referats/7473/image001.png">-субнормальные подгруппы группы и . Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что – -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.

Будем далее считать, что для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

Это означает, что . Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается, что . Итак, и .

По условию леммы – формация Фиттинга и , . Следовательно,

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

Из наследственности формации следует, что – -субнормальная подгруппа группы .

Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 – также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть – некоторое семейство классов групп. Обозначим через класс всех групп , представимых в виде

где и , .

Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

1) пусть – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;