Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Напомним, что решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует как наибольший, так и наименьший элементы.

Через обозначают множество всех -насыщенных формаций.

Если две -насыщенные формации и такие, что , то полагают, что . Относительно вхождения формаций друг в друга множество -насыщенных формаций является частично упорядоченным.

Для любых двух -насыщенных формаций и полагают

Определение. Непустую совокупность формаций называют полной решеткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из снова принадлежит

и во множестве имеется такая формация , что для любой формации .

Лемма. Частично упорядоченное множество с наибольшим элементом является полной решеткой, если в нем любая непустая совокупность элементов обладает нижней гранью.

Лемма. Множество всех -насыщенных формаций образует полную решетку.

Доказательство. Частичным порядком на является вхождение формаций друг в друга. Множество всех -насыщенных формаций замкнуто относительно операций и , так как объединение и пересечение -насыщенных формаций снова является -насыщенной формацией. Таким образом, является решеткой.

В качестве наибольшего элемента в выступает --- формация всех групп. Так как пересечение любой совокупности -насыщенных формаций снова будет -насыщенной формацией, то по лемме --- полная решетка. Лемма доказана.

Лемма. Пусть --- монолитическая группа с неабелевым монолитом, --- некоторая полуформация и . Тогда .

Лемма. Пусть --- полуформация и . Тогда если , то , где

Лемма. Пусть --- такой внутренний -локальный спутник формации , что , где . Тогда

где .

Определение. Пусть L --- полная решетка и . Элемент называют компактным в , если из условия следует, что для некоторого конечного подмножества , т.е., иначе --- компактный элемент в , если из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Определение. Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.

Определение. Атомом решетки называют наименьший ненулевой элемент, т.е. , то в не существует такого, что .

Определение. Пусть --- произвольный -локальный спутник. Символом обозначают класс групп

Если для формации выполнено равенство , то говорят, что --- -локальный -спутник формации .

 Скачать реферат