История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………… .3

§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем……………… .5

§ 2. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем…………………………………………………………………………….15

Заключение……………………………………………………………………….23

Список литературы………………………………………………………………24

Введение

В р

азвитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Современное развитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Математическое моделирование по временным рядам – бурно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящее время эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.

Использование современных компьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки данных и современными математическими пакетами в значительной степени облегчает получение модельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения эмпирических моделей весьма разнообразны – от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно сложно[4].

В реферате предпринята попытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем. В первом параграфе рассмотрено возникновение теории динамических систем, понятий динамическая систем, вычислительный эксперимент, математическая модель и хаос. Во втором параграфе рассматривается развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем, применения компьютеров для проведения вычислительных экспериментов.

§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем

Первая линия развития, которая вела к появлению теории динамических систем, связана с небесной механикой. Основоположниками классической механики принято считать Исаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа, Уильяма Гамильтона. Результатом их деятельности стало формирование представления о том, что сейчас называют гамильтоновой или консервативной динамической системой. Проблема трёх тел в небесной динамике, – первая задача, анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. Впервые об этом написал Анри Пуанкаре. Результатом изучения системы трёх тел стало развитие теории возмущений.

С развитием компьютеров возможности изучения и наглядного представления сложной динамики расширились. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики стала работа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения звезды через галактический диск.

Значительный прогресс в понимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом связан с теорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольд, а также американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое значение получили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.

Вторая линия развития связана со статической физикой и формированием эргодической теории. Как известно, состоятельное описание в статической физике достигается только в рамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении, что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены физические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике. Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривали фазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большого числа микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себе система должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этом пространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёл эргодическую гипотезу – предположение о том, что имеется по существу только одна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В 1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П. Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должна проходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности. Результатом стало формирование отдельной математической дисциплины – эргодической теории или метрической теории динамических систем.

Появление компьютеров позволило в начале 50-х годов Ферми, Паста и Уламу предпринять попытку пронаблюдать в вычислительном эксперименте процесс установления термодинамического равновесия в цепочке связанных нелинейных осцилляторов. Результат оказался совершенно неожиданным: вместо релаксации к равновесию наблюдался квазипериодический процесс. Эта работа показала, что проблема значительно сложнее, чем виделась раньше и дала тем самым толчок исследованиям, приведшим впоследствии к представлению о распределённых системах, а также к понятию солитона. Как выяснилось, свойство эргодичности само по себе не является ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснования статистической физики. По настоящему существенным является неустойчивость фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий и связанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Одним из первых эту идею разработал Н. С. Крылов (1917-1947).

Количественная характеристика неустойчивости траекторий известна как ляпуновский характеристический показатель – величина, введённая русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). В 1968 г. советский математик В.И. Оселедец опубликовал важнейший результат – так называемую мультипликативную эргодическую теорему, которая позволяет говорить о ляпуновских показателях, определённых не для одной фазовой траектории, а для множества траекторий.

Были введены и другие характеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, – динамическая энтропия, известная как энтропия Колмогорова–Синая (1959) и топологическая энтропия (1965).

(1917{1947)

Третья линия развития связана с радиотехникой, электроникой, теорией автоматического регулирования. Основоположником этого направления развития теории динамических систем был Б. Ван-дер-Поль. С этим именем связан генератор и осциллятор Ван-дер-Поля – классическая модель нелинейной системы, демонстрирующей периодические автоколебания. Около 1927 г. Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк исследовали динамику такого генератора под периодическим внешним воздействием. Режим работы устройства контролировался по звуку работы в наушниках. Исследова­тели отметили явление синхронизации при определенных раци­ональных соотношениях частоты воздействия и собственной ча­стоты и шумоподобные колебания при переходах между областями захвата. Возможно, это первое документально зарегистрированное экспериментальное наблюдение хаоса.

 Скачать реферат