Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Определение. -Насыщенная формация называется минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, если , но все собственные -насыщенные подформации из содержатся в .

Лемма. Пусть --- формация классического типа, --- непустая -насыщенная формация. Тогда если , то в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -подформация.

Следствием леммы является следующая

Лемма. Пусть --- произвольная -насыщенная не -нильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация.

Лемма. Тогда и только тогда является минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, когда , где --- такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо и P --- -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий:

1) группа неабелева, причем, если , то --- -группа, если же , то --- простая неабелева группа;

2) , где --- -группа, а такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , , --- -группа, и либо , либо --- группа порядка q, где .

Лемма. Пусть --- произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда, если --- монолитическая группа из , то .

Лемма. В любой модулярной решетке

если и оба элемента и покрывают , то покрывает и , и ;

двойственно, если и покрывает оба элемента и , то и оба покрывают .

Теорема. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп, и пусть --- некоторая -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где --- -насыщенная -нильпотентная подформация формации , --- минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация формации , при этом:

 Скачать реферат