Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

1) всякая -нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая -насыщенная не -нильпотентная подформация из имеет вид .

Доказательство. Необходимость. Пусть -нильпотентный дефект формации равен 1. Так как формация --- не -нильпотентна, то по лемме в формацию входит некоторая минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация . По условию --- максимальная -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть -насыщенная не -нильпотентная формация, удовлетворяющая требованиям теоремы, т.е. --- -насыщенная -нильпотентная подформация формации , --- минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация формации . Понятно, что . Пусть -дефекты формаций , и равны соответственно , и . Поскольку --- -насыщенная -нильпотентная формация, то ее -дефект равен 0. Так как --- минимальная -насыщенная не -нильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. Т.е., в силу леммы , получаем, что -дефект формации равен

Если , то отсюда следует -нильпотентность формации , что противоречит условию . Таким образом получаем, что -дефект формации равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как --- максимальная -насыщенная подформация в , то, в силу теоремы , имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно, --- максимальная -насыщенная подформация в . Следовательно, поскольку , то всякая -нильпотентная подформация из входит в .

Для доказательства утверждения 2) прежде покажем, что в нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Предположим, что в существует --- минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация, отличная от . Тогда, поскольку , то .

Пусть --- внутренний -локальный спутник формации , такой, что

 Скачать реферат