Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

.

Значит, раскладывается по векторам ,,, задающим ght=25 src="images/referats/11804/image128.png">. Значит, =0, а следовательно =0.

. Пусть k1(s).

Деривационные формулы запишутся в виде:

§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Точнее линейчатую поверхность мы будем строить следующим образом.

Возьмем какую-нибудь кривую в пространстве; пусть r — ее текущий радиус-вектор, а u - параметр, к которому она отнесена, r = r(u). Эту кривую мы будем называть направляющей. В каждой точке этой кривой зададим единичный вектор, который будет являться, таким образом, также функцией параметра u вдоль кривой, l=l(u).

В таком случае радиус-вектор произвольной точки М на произвольной образующей, определяемой значением , можно записать в виде

r(u), ;

действительно, вектор NM коллинеарен единичному вектору и потому отличается от него лишь скалярным множителем, равным длине NM с соответствующим знаком, т. е. множителем v.

Итак, окончательно .

В результате радиус-вектор произвольной точки М на произвольной образующей выразился как функция двух независимых параметров u, v. Мы получили, таким образом, параметрическое представление линейчатой поверхности, именно той, которая образована прямыми (образующими) построенного нами однопараметрического семейства прямых.

Фиксируя в этом уравнении u и меняя v, мы движемся, очевидно, по образующей, отвечающей данному значению u. Следовательно, семейством координатных линий v у нас будут служить образующие. Если же фиксировать v и менять u, то мы идем по образующим «параллельно» направляющей линии в том смысле, что расстояние NM = v остается постоянным.

Таким образом, координатные линии u образуют семейство линий, «параллельных» направляющей линии, которая сама также входит в это семейство и отвечает случаю, когда v фиксировано на значении 0.

Заметим, что направляющая линия геометрически ничем на заданной линейчатой поверхности не выделяется. В качестве направляющей может быть взята любая кривая на линейчатой поверхности, последовательно пересекающаяся с ее образующими; произвол этот отразится только на выборе параметров u, v на поверхности.

Вычислим теперь частные производные радиус-вектора по параметрам. Очевидно,

(16)

Составим векторное произведение этих векторов, направленное, как мы знаем, по нормали к поверхности:

(17)

Исследуем поведение нормали к линейчатой поверхности, когда точка движется по поверхности вдоль какой-нибудь образующей, т. е. когда мы меняем v при фиксированном u. Так как , l являются функциями только u, то векторные произведения и остаются постоянными, и правая часть (17) может меняться лишь вследствие изменения коэффициента v.

Здесь мы будем различать два случая, общий и специальный.

Общий случай: векторные произведения и не коллинеарны. В этом случае при движении вдоль образующей, т. е. при изменении v, первое слагаемое в правой части (17) постоянно, второе же, ему не параллельное, изменяется пропорционально v. В результате вся правая часть представляет собой вектор, направление которого меняется вместе с v.

Следовательно, вдоль образующей направление нормали к поверхности меняется от точки к точке. Очевидно, что касательная плоскость в какой-нибудь точке на данной образующей проходит через эту образующую (так как образующая является своей собственной касательной). Поэтому при движении точки касания вдоль образующей касательная плоскость, все время проходя через образующую, вращается около нее. В этом случае линейчатая поверхность называется косой (Рис. 3.2).

 Скачать реферат