Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Расстояние ρ(М,N) между точками М(x1,x2,x3,x4) и N(у1,у2,у3,у4) в пространстве 1R4 определяется как длина вектора (у1- x1, у2- x2, у3- x3, у4- x4) и равна

ρ(М,N)= (5)

В пространстве 1R4 существует три типа прямых.

1. Прямые действительной длины

(R1), направляющий вектор которых является вектором действительной длины. Например, е = [].

2. Прямые мнимой длины (1R1), направляющий вектор которых является вектором мнимой длины. Например, е = [].

3. Изотропные прямые (), направляющий вектор которых является изотропным вектором. Например, e = [0, +].

В пространстве 1R4 существует три типа двумерных плоскостей.

1. Евклидова плоскость R2, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде

, где .

Например, евклидова плоскость - плоскость . Для векторов этой плоскости , .

Тогда,

2. Псевдоевклидова плоскость1R2, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде , где .

Например, евклидовой плоскостью является плоскость . Для векторов этой плоскости, . Получим,

3. Полуевклидова плоскость, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости принимает вид , где .

Например, полуоевклидова плоскость - плоскость . Для векторов этой плоскости

, .

Тогда получим,

т.к.

Псевдоевклидова плоскость по своим аффинным свойствам не отличается от евклидовой, однако метрические свойства этих плоскостей существенно различаются. Это видно, хотя бы на примере окружности, которую на псевдоевклидовой плоскости определим как совокупность всех точек, удаленных на одно и то же псевдоевклидово расстояние r от данной точки – центра.

Если центр совпадает с началом координат О(0,0), то по определению уравнение окружности имеет вид

.

Радиус окружности может быть вещественным (r=a), тогда .

Если радиус окружности мнимый, т.е. r=ia, то . В случае, когда радиус r=0, имеем .

Таким образом на существует три вида окружностей. На аффинной плоскости они представляют собой пару пересекающихся прямых – окружность нулевого радиуса – и две сопряженные гиперболы, для которых указанные прямые являются асимптотами. (Рис. 1.2)

		Рис.1.2

В пространстве 1R4 существует три типа 3-плоскостей.

1. Евклидова 3-плоскость R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

.

Например, евклидовой 3-плоскостью является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , Тогда получим, ,)=

2. Плоскость 1R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:

.

Например, плоскостью 1R3является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , Получаем,

,)=

3. Плоскость , на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид: .

Например, плоскостью является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , .

Получим:

 Скачать реферат