Понятие эвристики в математике

Ответ: 1) ∟ACD=40°; 2) ∟C=80°; 3) ∟B=60°; 4) AC>BC; 5) AC<AB; 6) DC>BD; 7) AB>BC.

Рассмотрим следствие 7). Доказано, что AB>BC. Учитывая, что точка D находится между точками A и B, а AD=AB, то AD+BC>BC и, наконец, DC+DB>BC. Последнее неравенство, как легко заметить, будет справедливым при любой величине угла A и любом положении внутреннего луча CD. Важ

но лишь то, что AD=DC. Так приходим к обобщенной задаче: «На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что AD=DC. Докажите, что AB>BC». Данное неравенство DC+DB>BC приводит к выводу, что в треугольнике сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Решение данной задачи не только мотивирует введение теоремы о неравенстве треугольников, моделирует ее доказательство, но и обосновывает ее для частного случая.

Сопровождая решение даже таких простых задач указанной работой с ними, мы повышаем их привлекательность и эстетический потенциал. Учащиеся начинают смотреть на задачи как на исследовательские объекты, в которых скрыта гармония и красота математики, наслаждаясь тем, что в процессе работы эти качества математики обнажаются, и красота математики становится для учащихся доступной.

Таким образом, красота математики раскрывается в воспитании склонности школьников к использованию обобщения и аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификации и разнообразным приложениям тех или иных математических фактов и закономерностей, всестороннему анализу изучаемых ситуаций, минимально возможной субъективной сложности, требуемой для достижения того или иного результата, поиску различных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полной логической обоснованности и доказательности, склонности к поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общности исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.

Заключение

В работе в соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:

- рассмотрено понятие доказательства в математике и его особенности;

- рассмотрена эвристика как метод научного познания;

- рассмотрены особенности эвристического подхода в рамках логического;

- рассмотрено применение эвристических логических подходов к построению математических доказательств при изучении математики.

По работе можно сделать следующие выводы:

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

Если все известные методы решения задач разделить по признаку доминирования логических эвристических (интуитивных) процедур и соответствующих им правил деятельности, то можно выделить две большие группы методов:

а) логические методы - это методы, в которых преобладают логические правила анализа, сравнения, обобщения, классификации, индукции, дедукции и т. д.;

б) эвристические методы.

Для того чтобы разобраться более глубоко в том, что понимать под эвристическими методами, следует обратить внимание на то, что метод словесно можно представить в виде некоторой системы правил, то есть описания того, как нужно действовать и что нужно делать в процессе решения задач определенного класса. Из разнообразного набора правил деятельности в решении задач принципиально можно выделить два больших класса предписаний: алгоритмы или алгоритмические предписания и эвристики - эвристические предписания. Если алгоритмы жестко детерминируют наши действия и гарантируют в случае их точного выполнения достижение успеха в решении соответствующего типа задач, то эвристики и эвристические предписания лишь задают стратегии и тактике наиболее вероятное направление поиска идеи решения, но не гарантируют успеха решения.

Эвристикой называют совокупность приемов и методов, облегчающих и упрощающих решение познавательных, конструктивных, практических задач. Эвристикой называют также специальную научную область, изучающую специфику творческой деятельности. Эвристические методы противопоставляются рутинному, формальному перебору вариантов по заданным правилам. В сущности, при решении любой задачи человек всегда использует те или иные методы, сокращающие путь к решению, облегчающие его нахождение. Напр., при доказательстве теорем геометрии мы обычно используем в качестве эвристического средства чертеж; решая математическую задачу, мы стараемся вспомнить и использовать решения других похожих задач; в качестве эвристических средств используются общие утверждения и формулы, индуктивные методы, аналогии, правдоподобные умозаключения, наглядные модели и образы, мысленные эксперименты и т. п.

Использование эвристических подходов при построении математических доказательств помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения. Применение эвристических подходов в математике предполагает использование обобщения и аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификацию и разнообразные приложения тех или иных математических фактов и закономерностей, всесторонний анализ изучаемых ситуаций, минимально возможную субъективную сложность, требуемой для достижения того или иного результата, поиск различных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полную логическую обоснованность и доказательность, склонность к поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общность исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.

Список литературы

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М., 1970.

2. Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979.

3. Беляев Е.А, Перминов В.Я. «Философские и методологические проблемы математики», МГУ, 1981, - 214 с.

4. Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.

5. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — // Математика в школе, № 2/1982, с. 40–43.

6. Заесенок В. П. Эвристические приемы решения логических задач // Математика в школе. - 2005. - N 3.

7. Калошина И.П., Миничкина Н.В. Логические приемы мышления как условие самостоятельной разработки студентами способов доказательства теорем. - В кн.: Подготовка учителя математики в университете. Саранск, 1984, c.22 - 33.

8. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1978. - 128 с.

9. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967.

10. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.

11. Миничкина Н.В. Формирование логических приемов мышления как условия самостоятельной познавательной деятельности студентов. - Дис. . канд. пед. наук. Саранск, 1984.-268 с.

 Скачать реферат