Понятие эвристики в математике

Учитывая, что у ученика с его взрослением развиваются пространственные представления об окружающем мире, приобретающие форму устойчивых образов реальных объектов, изучение элементов геометрии в 5–6-х классах естественно должно основываться на идее фузионизма (слияния); однако эта идея не должна быть стержневой. В основной школе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в старших клас

сах — курс стереометрии. Заканчивать изучение геометрии в средней школе следует знакомством школьников с аксиоматическим методом не только как методом организации математической теории, но и как эффективным эвристическим средством, а также выходом в геометрию четырехмерного пространства. Известно, что необходимость систематических курсов оспаривается некоторыми математиками и методистами. Они предлагают, в частности, единый курс планиметрии и стереометрии. Однако такой курс построить на достаточно строгом логическом уровне в основной школе невозможно. Такой курс будет представлять собой набор различных фактов, поэтому мера порядка его организации будет невысокой, а потому будет низкой и мера привлекательности такого курса для учащихся, что, несомненно, будет отражаться на их интересе к изучению такого курса, а следовательно и на знаниях и умениях школьников.

Необходимость учета зависимости меры красоты и привлекательности объекта от порядка и меры усилий на его понимание подтверждает и природа распознавания объектов: на уровне свернутого выполнения действий распознавание осуществляется не по логическим признакам, а по внешне выраженным, наглядным признакам используемых объектов. «Идеальный» вариант возникает тогда, когда определение понятия позволяет воображению легко конструировать образы определяемых объектов. В данном контексте, например, наиболее привлекательным среди возможных определений параллелограмма является классическое определение, так как оно в большей мере соответствует имеющемуся в мышлении ученика образу параллелограмма.

Известны многолетние дискуссии по вопросу использования алгебраического метода решения текстовых задач. Одни участники дискуссий выступают за раннее введение метода уравнений, другие считают, что основное внимание в начальной школе и в 5–6-х классах должно уделяться арифметическому методу.

С позиции красоты вряд ли будет казаться привлекательным для ученика 5-го класса решение текстовой задачи с применением уравнений или доказательство теоремы методом «от противного», потому что рассуждения, осуществляемые в процессе решения задачи либо в доказательстве теоремы, не будут для ученика естественными. Хотя текстовые задачи привлекательны для школьников, поскольку они отражают реальные ситуации, хорошо знакомые им[9].

Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач, которая «неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности». Поэтому использование текстовых задач в обучении математике на ранних этапах необходимо, однако спешить с применением уравнений при их решении не следует. Последнее предполагает ряд таких умений (моделировать словесно заданные ситуации, выражать заданные величины одну через другую и т. д.), которые как раз и формируются при решении текстовых задач арифметическим способом[10]. Ученик, овладевший хотя бы некоторым опытом решения текстовых задач арифметическим методом, при встрече с алгебраическим методом будет, в какой-то мере, удивлен оригинальностью суждения при его использовании, и эта неожиданность будет усиливать привлекательность алгебраического метода.

Анализируя учебники геометрии для основной школы, можно увидеть, что метод «от противного» используется при решении задач уже на первых уроках геометрии, хотя учащиеся еще не осознали смысл прямого обоснования. Поэтому в такой ситуации применение этого метода может вызвать лишь неприязнь к изучению геометрии. Последнему будет способствовать и неопределенность требований первых задач курса геометрии.

Как уже было отмечено, важной характеристикой меры красоты является порядок, который выступает в различных формах. Наиболее распространенной из них является симметрия. Причем речь идет не только о симметрии как гармонии частей целого, их упорядоченности, но и как осознании стройности математических доказательств. Поэтому наиболее привлекательными для учащихся являются изящные доказательства. Отметим и такие характеристики красоты математики, как возможность влияния на дальнейшее продвижение в той или иной области на основе аналогии и обобщения, богатство возможных приложений как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность.

Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируются определенные образы, бессознательно «ждущие» встречи с соответствующими объектами. Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется, это переживается как красота. В ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его корковую модель, но не укладывается в нее полностью, возникает удивление и связанный с ним познавательный интерес. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове. В связи со сказанным, в обучении важно использование различных рисунков к доказательству теоремы, упражнений на распознавание объектов, принадлежащих формируемому понятию, различных способов доказательства, самостоятельного открытия теорем, оригинальных способов решений, укрупнения единиц, чертежей с одной основой, аналогичных задач, блоков «родственных» задач и т. д. Все это непосредственно связано с красотой, с механизмами эстетического воспитания школьников средствами математики, с выработкой эстетического вкуса путем формирования стандартов (устойчивых математических образов).

Рассмотрим конкретные примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На его гипотенузе AC (вне его) построен квадрат ACDE с центром O. Доказать, что луч BO является биссектрисой угла ABC.

Возможно, что кто-то из учащихся, решавших эту задачу, и предложит один из способов ее решения. Однако может оказаться, что таких учащихся не найдется. В таком случае можно предложить рассмотреть частный случай, обусловленный тем, что треугольник ABC будет прямоугольным и равнобедренным. Чертеж, иллюстрирующий данную ситуацию, будет более привлекателен для учащихся, так как его восприятие в большей мере соответствует их житейским образам. Поэтому к такому рисунку будет проявлено большее любопытство.

Рисунок 1

Легко заметить, что фигура на рис.1 симметрична относительно прямой BO. Этот факт легко может быть и обоснован: точка B равноудалена от точек A и C, следовательно, она принадлежит оси симметрии этих точек. Аналогично, этой же оси симметрии принадлежит и точка O. Значит, прямая BO — ось симметрии четырехугольника ABCO, а потому луч BO является биссектрисой угла B. Ясно, что обоснование доказываемого утверждения может быть выполнено и другим способом.

 Скачать реферат