Понятие эвристики в математике

Устанавливаем, что четырехугольник ABCO — квадрат, около которого можно описать окружность. По отношению к ней углы ABO и OBC являются вписанными, опирающимися на равные дуги AO и OC (рис. 2). Легко заметить, что перемещая точку B по окружности (рис. 3), приходим к рис. 4, который и соответствует данной задаче. Частный случай подсказал способ ее решения. Ясно, что идея симметрии в общем случае

не срабатывает, однако она наталкивает на идею использования поворота вокруг точки O на 90°.

Рисунок 2

Рисунок 3

Пусть это будет поворот по часовой стрелке. Он переведет прямую AB в прямую BC, поскольку точка A перейдет в точку C, а прямая AB — в прямую, проходящую через точку C перпендикулярно к AB, то есть в прямую BC. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB и BC, а потому принадлежит оси симметрии угла ABC.

Решив данную задачу, следует обратить внимание учащихся на эвристики:

1) если в задачной ситуации имеется два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, то полезно для решения задачи ввести окружность, описанную около этих треугольников;

2) если в условии задачи даны две взаимно перпендикулярные прямые либо квадрат, то для ее решения можно воспользоваться поворотом вокруг центра квадрата на 90°.

Далее можно предложить рассмотреть случай, когда квадрат, построенный на гипотенузе AC, содержит точку B. В зависимости от уровня подготовленности класса можно продвинуться и далее. Например, прямоугольный треугольник можно заменить двумя взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через соседние вершины квадрата. Можно предложить учащимся составить несколько аналогичных задач, заменив квадрат, например, правильным треугольником. В этом случае две взаимно-перпендикулярные прямые должны быть заменены двумя прямыми, проходящими через соседние вершины треугольника и образующими угол в 120°. Указанная задачная ситуация может быть обобщена на правильный шестиугольник и т. д.

Рисунок 4

Можно заметить, что исследование задачной ситуации с использованием обобщения, конкретизации и аналогии способствует созданию обобщенного образа этой ситуации, особенно в том случае, когда она является опорной, то есть используемой в большинстве задач изучаемого раздела. Встреча учащихся с рисунком, который отложился в памяти ученика, вызовет те ассоциации, которые были связаны с ним ранее и могут продвинуть решение задачи. Наконец отметим и то, что поиск решения задачи осуществляется посредством приема мысленного преобразования исследуемого объекта, что важно, потому что данный прием является эффективным эвристическим приемом в математическом познании. С другой стороны, решение подобных задач формирует сам указанный прием, а также приемы обобщения, аналогии, конкретизации и т. п.

2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∟C = 90°). Построен отрезок CC1 (C1AB), перпендикулярный медиане AA1. Найти отношение BC1 : C1A.

Данная задача интересна тем, что допускает различные способы решения, хотя заключительный этап ее решения не богат возможностями конструирования новых задач. В журнале «Математика в школе» (№ 4/1981, с. 69[11]) приведено пять способов решения задач, однако среди них нет самого простого способа, основанного на использовании координатного метода. Приведем его.

Введем систему координат так, чтобы прямая CA служила осью Ox, прямая CB — осью Oy (луч CA определяет положительное направление оси Ox, а луч CB — оси Oy); за единицу измерения примем длину отрезка AC.

Тогда

где .

Уравнение прямой CC1 имеет вид:а уравнение прямой A1A –

Используя условие перпендикулярности прямых, получаем

Заключительный этап решения задачи обладает большим эстетическим потенциалом и служит хорошим средством формирования мотивации учебной деятельности школьника. Данный этап имеет значительные возможности для приобщения школьников к составлению задач, что связано с исследованием задачной ситуации.

3. Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Конкретизация задачной ситуации приведет к задаче, в условии которой хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Поскольку в полученной задаче используется частный случай, то решение последней задачи распространяется и на решение полученной. Данная задачная ситуация может быть интерпретирована по-другому: из точки окружности проведен перпендикуляр к ее диаметру. Квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра. Заметим, что конкретизация приводит к ситуации, когда имеется решение задачи, а сама задача должна быть сформулирована.

Обобщение основной задачи приводит к ситуациям:

1) прямые, которым принадлежат хорды, пересекаются вне круга, определяемого данной окружностью;

2) одна из секущих является касательной (предельный случай 1);

3) обе секущие являются касательными.

Далее возможен выход в задачную ситуацию, которую составляют две окружности и хорды каждой из них. Требуется найти такое положение точки пересечения хорд, которое удовлетворяет основной задаче. Возможен выход даже в три окружности, что обусловит уже исследование со всеми его атрибутами.

Привлекательность работы с задачей может быть повышена даже в процессе решения элементарных задач.

Рассмотрим задачу. В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D, AD = DC, ∟A = 40° (рис. 5). Доказать, что AB > BC.

Рисунок 5

Поскольку в треугольнике ABC известен угол A, то сравнение указанных сторон может быть осуществлено посредством сравнения углов, лежащих против данных сторон. На данную эвристику следует обратить внимание учащихся. Однако ее использование требует знания второго угла треугольника — угла C. Рисунок помогает увидеть, что ∟C содержит ∟ACD, равный углу A. Таким образом, ∟C >∟A, следовательно AB > BC.

Ясно, что приведенная задача не обладает возможностями построения на ее основе задач-обобщений, задач-конкретизаций, задач-аналогов и так далее. Однако на ее основе возможно конструирование целой серии задач. Вот требования некоторых из них (условия задач совпадают с условием данной задачи):

«Сформулируйте несколько утверждений, справедливость которых следует из условия данной задачи».

 Скачать реферат