Понятие эвристики в математике

Достоинства дедуктивных рассуждений состоят, во-первых, в том, что они допускают объективную, или точнее, интерсубъективную, проверку. Это значит, что каждый может проверить их посылки, а если он рассуждает по правилам дедуктивной логики, то и убедиться в достоверности заключения. Во-вторых, заключение, или следствие, дедукции имеет завершенный, окончательный характер, и поэтому его можно отдел

ить от посылок и использовать его самостоятельно. Это свойство дедукции называют автаркией. Именно так поступают в математике, когда формулируют теоремы, не ссылаясь непосредственно на аксиомы, хотя в принципе через сложную цепь промежуточных дедукций их можно было вывести из аксиом. В-третьих, заключения, или следствия, дедукции, как мы уже отметили, имеют логически необходимый, доказательный, а следовательно, обязательный и принудительный характер для любого рассуждающего. На этом основании дедуктивные умозаключения, опирающиеся на истинные посылки, называют доказательными или демонстративными рассуждениями, а соответствующую аргументацию — демонстративной.

Все эти достоинства объясняют, почему именно дедуктивные рассуждения являются наиболее убедительными методами рассуждения, а очень часто в нашей литературе они просто отождествляются с аргументацией. Однако убедительность аргументации, как нетрудно убедиться, зависит прежде всего от характера тех аргументов, или доводов, которые служат посылками рассуждения. Очевидно, что если посылки дедукции будут ложными, то и заключение также будет ложным. Фундаментальный принцип дедукции состоит в том, что из истины нельзя по ее правилам вывести ложное заключение. Если посылки дедукции являются вероятными суждениями, тогда и заключение будет вероятным. Этот принцип относится и к исчислению вероятностей, аксиомы которой устанавливают, как из исходных вероятностей получаются другие вероятности. Все это показывает, таким образом, что дедуктивные умозаключения служат логическим механизмом преобразования информации, который не может превратить истину в ложь, а ложь в истину, а вероятность в невероятность.

Однако логика помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения, которые в отличие от дедуктивных умозаключений мы назовем эвристическими. Термин “эвристика” адекватно характеризует сущность недедуктивных рассуждений, которые ориентированы именно на поиск истины. Соответственно этому к эвристическим методам относятся те методы аргументации, которые основываются, во-первых, на недедуктивных способах рассуждений, во-вторых, используют определенные эвристические принципы для поиска истины. Общая черта, характерная для всех методов эвристической аргументации, — это вероятность их заключений и правдоподобный характер используемых рассуждений. Располагая истинными посылками в правдоподобном рассуждении, мы не можем гарантировать истинность его заключения. Можно поэтому сказать, что их посылки лишь с той или иной степенью вероятности подтверждают заключение. Самым распространенным способом таких рассуждении, известным еще с античной эпохи, является индукция, в которой на основании исследования определенного числа элементов определенного множества объектов, делается заключение обо всем множестве или по крайней мере о некоторых неисследованных его подмножествах или элементах. В науке такой процесс переноса известного знания на неизвестные случаи называют экстраполяцией, а в статистике — заключением от образца к популяции или, как принято в нашей литературе, — от выборки к генеральной совокупности. В связи с указанными соображениями можно рассматривать заключение от выборки к генеральной совокупности как статистическую индукцию.

Другим видом эвристических, или вероятностных, рассуждений является аналогия, основанная на сходстве некоторых признаков двух или нескольких объектов, причем это сходство используется для экстраполяции определенных признаков одного или нескольких объектов на другой объект. Очевидно, что заключение аналогии в принципе тоже будет всегда лишь вероятным, но не достоверно истинным. То же самое следует сказать о статистических обобщениях.

Различие между дедуктивными, или демонстративными, рассуждениями и рассуждениями эвристическими, или недемонстративными, можно представить наглядно в виде соответствующих схем. Типичными элементарными схемами дедуктивных рассуждений являются, во-первых, заключение от истинности основания к истинности следствия (modus ponens), во-вторых, заключение от ложности следствия к ложности основания (modus tollens)

В отличие от этого все недемонстративные, или эвристические, рассуждения выражаются гипотетической формой заключения.

2. Эвристические приемы построения математических доказательств

2.1. Эвристический метод построения математических доказательств

Начало эвристического метода некоторые видят у Сократа, который путем вопросов наводил слушателя на правильное решение поставленной проблемы. Таким образом он заставлял мыслить слушателя, последовательно подходя к решению ряда более легких проблем Р , Q , R …, от которых зависело решение основной проблемы W. Но при этом следует отметить, что решение этих промежуточных проблем Р , Q , R …Сократ обычно сам подсказывал, оставляя слушателям продумать подсказанное им решение и убедиться в его правильности. Таким образом, хотя за слушателем и оставалось в некоторой мере самостоятельное мышление, но он двигался несамостоятельно, он, так сказать, все время подталкивался Сократом. В виду этого сократовский метод едва ли можно признать за образец чистой эвристической методы. Эвристический метод в современном смысле требует значительно больше инициативы от учащихся. Кроме того, в его понятие входит и то, на что Сократ не обращал внимания, естественный ход мысли, а именно тот, который вел к открытию изученной истины. Всякий эвристический метод является в настоящее время в некоторой мере и генетическим, но, конечно нельзя утверждать и обратное. Учащемуся предлагается, правда, не исключая некоторых наведений со стороны учителя, проходить тот путь, который прошел или мог пройти открывающий эти истины.

Правильнее искать начало эвристического метода не у Сократа, а гораздо позже – у Руссо в его педагогических взглядах или, лучше сказать, вообще в педагогике его времени, так как он в своем Эмиле отражает общее настроение педагогической мысли его эпохи. Здесь уместно вспомнить и о Л.Бертране, который пытается, впрочем только в начале, применить элементарную математику в том порядке, какой может открываться «охотником». В учебниках конца XVIII и начале XIX века, следуя идеям Руссо, приводится эвристический метод, приводящий к вопросникам и к задачам для самостоятельного решения.

Вне сомнения в дальнейшем методисты охладевают к эвристическому методу. Но увлечение им сыграло большую роль в истории методики математики. Учебники XVII и XVIII веков не содержат, как наши учебники, задачи. Даже наиболее крупный методист Х.Вольф говорит не о самостоятельно решаемых задачах, но о примерах, только иллюстрирующих теорию. Эвристический метод вызывался еще другой педагогической идеей, защищаемой Руссо, выдвигавшим, в противоположность односторонне-объективной ­– односторонне-субъективную методу с формально воспитательным принципом развития способностей. Конечно для этой цели самостоятельное мышление учащегося имела первенствующее значение. Впервые задачи появляются только в конце первой четверти XIX века в учебнике неизвестного методиста Ома.

 Скачать реферат