Понятие эвристики в математике

Об эвристическом значении критериев красоты в математическом поиске говорят и многие другие большие и не столь большие ученые - Гейзенберг, Гаррисон, Эйнштейн.

Так, А. Пуанкаре считает, что в нас сидит "эстетический сторож", который уже при самом зарождении идей отметает некрасивые математические решения, даже не допуская их к рассмотрению. Обращаясь к формуле закона тяготения, на

пример, отечественный физик второй половины XX в. А. Китайгородский замечает следующее. Напомнив уравнение

F= ,

Китайгородский пишет, что если бы в числителе вместо произведения масс m1 и m2 фигурировала, скажем, сумма (m1+m2), а в знаменателе вместо r2 находилась бы r в девятой степени, такая формула сразу же отталкивала как неэстетическая, некрасивая и потому неверная.

И уже затем после этого первого досмотра осуществляет выбор между допущенными к конкуренции вариантами, когда выносится окончательный эстетический приговор в пользу наиболее совершенного, сполна удовлетворяющего эстетическому вкусу математического описания.

Остается непроясненным, а что же именно полагать красивым, каковы критерии самого этого критерия истинной теории? Это те же количественные (основанные на минимальности значений) и логические (симметрия, стройность и т.п.) характеристики, но пропущенные через эстетическое чутье ученого. Как пишет, например, математик Б. Гнеденко, "результат считается красивым, если из малого числа условий удается получить общие заключения, относящиеся к широкому кругу объектов.

Поэтому так важно воспитывать у исследователя восприятие прекрасного, способность схватывать и ценить красоту. Без достаточно развитого эстетического чувства, подчеркивает Пуанкаре, никто никогда не станет крупным творцом в математике.

Красоту математики видят в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, в изяществе математических доказательств, в порядке, богатстве приложений, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивого объекта моделью, удовлетворяющей требованиям изоморфизма, простоты и неожиданности. Так, Э.Т. Белл привлекательность математического объекта видит в совокупности следующих характеристик[4]:

— универсальность использования в различных разделах математики, как правило, изначально совсем неочевидная;

— продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;

— максимальная емкость охвата объектов рассматриваемого типа.

Указанная совокупность признаков красивого математического объекта, как и другие предлагаемые наборы характеристик красоты, сформулирована не вполне четко и несколько размыто, что объясняется их «трудной уловимостью» и неполной осознаваемостью.

Наиболее четко характеристика эстетической привлекательности математического объекта дана Г. Биркгофом:

M=O/C,

где M — мера красоты объекта,

O — мера порядка,

а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта[5].

С формулой красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучна модель, разработанная В.Г. Болтянским[6]. По его мнению, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между этим объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью его появления. Изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядной модели. Созвучность видится в том, что как в первой, так и во второй модели мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта (по Биркгофу) или чем проще наглядная модель исследуемого объекта (по Болтянскому).

Надо сказать, что проблема красоты занимает не только математиков, она привлекала и привлекает внимание величайших умов человечества. Одни исследователи считают, что в красоте объектов проявляется их свойство, существующее независимо от сознания. Чувство красоты трактуется как продукт отражения в человеческом сознании реально существующих эстетических свойств окружающего мира. Другие рассматривают красоту как продукт ума, свободной мысли. Для третьих красота является даром богов, особенно женская красота, воспеваемая в поэзии, литературе, живописи. Писатель-фантаст А. Казанцев во второй половине прошлого столетия выдвинул версию, согласно которой красивыми кажутся те черты лица, которые отвечают биологической целесообразности, лучше приспособлены к природным условиям. Наиболее правдоподобно природа красоты была раскрыта в 60-х годах XX столетия известным психологом академиком Р.Х. Шакуровым. Им была предложена гипотеза о том, что красивы те черты лица, которые при зрительном восприятии укладываются в их корковый, обобщенный образ — в стереотипный усредненный стандарт, сформировавшийся в нашей голове в ходе общения с людьми. Сказанное отражает красоту форм. Другими составляющими красоты являются: ее эмоционально-экспрессивная сторона, обращенная к аффилиативной потребности, ассоциативно-эмоциональный компонент, оригинальность. Указанные составляющие проявляются в улыбчивых лицах, светящихся добротой и нежностью, в цвете лица, ассоциирующемся со здоровьем, в своеобразии, нестандартности.

Очевидно, что указанное понимание красоты лица может быть перенесено на красоту любого объекта, в частности математического. Наиболее привлекательным будет тот объект, представление о котором соответствует сформировавшемуся образу этого объекта. Данный вывод совпадает с указанными математическими моделями эстетической привлекательности математических объектов. Ясно, что в случае затраты минимума усилий, а это возможно когда восприятие укладывается в обобщенный образ (по Шакурову[7]), мера красоты возрастает, причем степень возрастания пропорциональна росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых учеником сопряжено с наименьшими его усилиями. Их привлекательность будет усиливаться за счет динамической составляющей красоты, выражаемой в оригинальности, неожиданности, изяществе.

1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода

В логике различают дедуктивные и недедуктивные (эвристические) рассуждения. В связи с этим, для полноты картины, необходимо рассмотреть эвристический подход к построению математических доказательств в более широком контексте противопоставления дедуктивных и недедуктивных высказываний.

Дедуктивными называются рассуждения, заключение которых с логической необходимостью вытекают из посылок. Эти посылки могут быть истинными, правдоподобными или вероятными, или даже ложными, но если вы их приняли, то должны согласиться и с заключением дедукции. Вот почему в современной науке дедукция рассматривается как логический механизм преобразования информации, сохраняющий ее истинностное значение. Следовательно, она переносит истинностное значение посылок рассуждения на его заключение. Если эти посылки истинны и достоверны, то таким же будет и заключение. Подобный способ рассуждения в логике называют доказательством, и он является типичным для всех рассуждений в математике и точных науках.

 Скачать реферат