Понятие эвристики в математике

Содержание

Введение. 3

1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике. 6

1.1. Понятие доказательства в математике. 6

1.2. Эвристика как метод научного познания. 10

1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода. 19

2. Эвристические приемы построения математических доказательств. 23

2.1.

Эвристический метод построения математических доказательств. 23

2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем 28

Заключение. 39

Список литературы 42

Введение

Логическое доказательство математических построений известно еще с Древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI—V веках до нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определенную последовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у кого никаких сомнений. Этот «дедуктивный» метод получил дальнейшее развитие у Эвклида, Архимеда и Апполония. Понятие доказательства у них уже ни в чем существенном не отличается от нашего. Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда, когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.

Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большие группы — приемы алгоритмического типа и эвристические. Остановимся сначала на характеристике приемов алгоритмического типа.

Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующего законам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами, обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственно рассчитаны. Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но не достаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействует совершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом творческой деятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых, эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать « строительный материал» для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточным формирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует специфике продуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой стороны мыслительной деятельности.

Эвристические методы решения задач - это система принципов и правил, которые задают наиболее вероятностные стратегии и тактики деятельности решающего, стимулирующие его интуитивное мышление в процессе решения, генерирование новых идей и на этой основе существенно повышающие эффективность решения определенного класса задач.

Эвристические приемы непосредственно стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и тем самым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличии от приемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем. Они направляют мысль решающих на проникновение в суть описываемого в условии предметного содержания, на то, чтобы за каждым словом они видели его реальное содержание и по нему судили о роли в решении того или иного данного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словесно логическим мышлением — возможность целостного восприятия, видения всей описываемой в условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивного мышления интуитивных процессов.

Целью данной работы является рассмотрение эвристических логических подходов к построению доказательств.

В работе поставлены следующие задачи:

- рассмотреть понятие доказательства в математике и его особенности;

- рассмотреть эвристику как метод научного познания;

- рассмотреть особенности эвристического подхода в рамках логического;

- рассмотреть эвристические приемы построения математических доказательств.

При написании работы были использованы труды таких авторов, как Серебряникова О.Ф., Лакатоса И., Писаревского Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.И., Беляева Е.А, Перминова В.Я., Калошиной И.П., Миничкиной Н.В., Харичевой Г.И., Миничкиной Н.В., Адамара Ж., Белла Э.Т., Биркгофа Г., Болтянского В.Г., Куранта Р., Робинса Г., Шакурова Р.Х.

1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике

1.1. Понятие доказательства в математике

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.[1]

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает самое математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е. Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры и далее пишет: "Доказательством суждения называют честный прием, делающий это суждение неоспоримым". Есенин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

 Скачать реферат