Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

Метод хорд.

Идея метода проиллюстрирована рисунком. Задается интервал [x0, x1], на котором f(x0)f(x1) ≤ 0, между точками x0 и x1 строится хорда, стягивающая f(x). Очередное приближение берется в точке x2, где хорда пересекает ось абсцисс. В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Условия вых

ода из итерационного цикла: или

| f(x)| ≤ ξy.

Для вывода итерационной формулы процесса найдем точку пересечения хорды (описываемой уравнением прямой) с осью абсцисс: ax2 + b = 0, где ; b = f(x0) – ax0.

Отсюда легко выразить .

Метод хорд в большинстве случаев работает быстрее, чем метод дихотомии. Недостатки метода те же, что и в предыдущем случае.

Метод Ньютона (касательных).

Пусть x0 – начальное приближение к корню, а f(x) имеет непрерывную производную. Следующее приближение к корню найдем в точке x1, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x0, f0), пересекает ось абсцисс. Затем точно так же обрабатываем точку (x1, f1), организуя итерационный процесс. Выход из итерационного процесса по условию .

Уравнение касательной, проведенной из точки (x0, f0): y(x) = f /(x0)(x–x0) + f(x0) дает для y(x1) = 0 следующее выражение:

, (1)

которое и используется для организации итерационного процесса. Итерации сходятся, только если всюду выполняется условие ; в противном случае сходимость будет не при любом начальном приближении, а только в некоторой окрестности корня. Итерации будут сходиться к корню с той стороны, с которой .

Метод обладает самой высокой скоростью сходимости: погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего приближения. Метод можно использовать для уточнения корней в области комплексных чисел, что необходимо при решении многих прикладных задач, например при численном моделировании электромагнитных колебательных и волновых процессов с учетом временной и пространственной диссипации энергии.

Недостатком метода можно указать необходимость знать явный вид первой и второй производных, так как их численный расчет приведет к уменьшению скорости сходимости метода. Иногда, ради упрощения расчетов, используют т.н. модифицированный метод Ньютона, в котором значение f /(x) вычисляется только в точке x0, при этом число итераций увеличивается, но расчеты на каждой итерации упрощаются.

Метод секущих.

В отличие от метода Ньютона, можно заменить производную первой разделенной разностью, найденной по двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей. При этом первый шаг итерационного процесса запишется так:

.

Для начала итерационного процесса необходимо задать x0 и x1, которые не обязательно ограничивают интервал, на котором функция должна менять знак; это могут быть любые две точки на кривой. Выход из итерационного процесса по условию .

Сходимость может быть немонотонной даже вблизи корня. При этом вблизи корня может происходить потеря точности, т.н. «разболтка решения», особенно значительная в случае кратных корней.

От разболтки страхуются приемом Гарвика: выбирают некоторое ξx и ведут итерации до выполнения условия . Затем продолжают расчет, пока убывает. Первое же возрастание может свидетельствовать о начале разболтки, а значит, расчет следует прекратить, а последнюю итерацию не использовать.

Метод простых итераций.

Суть метода простых итераций в принципе совпадает с методом, изложенным для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нелинейного уравнения метод основан на переходе от уравнения

f(x) = 0 (2)

к эквивалентному уравнению x = φ (x). Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x). Например, можно положить

φ (x) = x + bf(x), (3)

где b = const, при этом корни исходного уравнения (2) не изменятся.

Если известно начальное приближение к корню x0, то новое приближение x1 = φ (x0), т.е. общая схема итерационного процесса:

xk+1 = φ (xk). (4)

Наиболее простой критерий окончания процесса .

Критерий сходимости метода простых итераций: если вблизи корня |φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, то итерации сходятся при любом начальном приближении. Исследуем выбор константы b в функции (3) с точки зрения обеспечения максимальной скорости сходимости. В соответствии с критерием сходимости наибольшая скорость сходимости обеспечивается при |φ/(x)| = 0. При этом, исходя из (3),

b = –1/f /(x), и итерационная формула (4) переходит в

,

т.е. в формулу метода Ньютона (1). Таким образом, метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций, обеспечивающим самую высокую скорость сходимости из всех возможных вариантов выбора функции φ (x).

11. Численное решение систем нелинейных уравнений

Постановка задачи

Требуется решить систему нелинейных уравнений (1). В координатном виде эту задачу можно записать так: , где 1 ≤ k ≤ n.

Убедиться в существовании решения и количестве корней, а также выбрать нулевое приближение в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными можно, построив графики функций в удобных координатах. В случае сложных функций можно посмотреть поведение аппроксимирующих их полиномов. Для трех и более неизвестных, а также для комплексных корней, удовлетворительных способов подбора начального приближения нет.

Метод Ньютона.

Обозначим некоторое приближение к корню системы уравнений . Пусть малое . Вблизи каждое уравнение системы можно линеаризовать следующим образом:

 Скачать реферат