Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

Ответ: OC= .

3.2 Примеры заданий ЕГЭ с призмой

Рис.25

Пример 1. Основанием призмы служит треугольник со сторонами a, b, c. Высота призмы h (рис 25). Найти радиус описанной сферы.

Решение. Поскольку ок

оло призмы описана сфера, то призма прямая и её боковое ребро равно высоте. Радиус окружности, описанной около основания призмы, вычисляется по формуле

Тогда

Ответ:

Рис.26

Пример 2. Радиус шара R. В шар вписана правильная п-угольная призма, высота которой 2h (рис 26). Найти сторону основания призмы.

Решение. Пусть К – центр описанного шара. Имеем: KB=R, OK=h. Пусть ОМАВ, тогда

OB=

(из треугольника OKB).

Из треугольника OMB находим

a=2MB=2OB.

Итак, a=.

Ответ: a=.

Рис.27

3.3 Примеры заданий ЕГЭ с цилиндром

Пример 1. Высота кругового цилиндра на 10 больше радиуса основания, а площадь полной поверхности равна 144. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Радиус описанной сферы

(рис. 27).

Площадь поверхности цилиндра

, 144

144,

упростим данное выражение:

36.

Получим квадратное уравнение

Найдём корни этого уравнения

,

Корень не подходит, так как он отрицательный. Высота

Найдём радиус описанной сферы:

.

Ответ: .

Пример 2. В шар вписан прямой круговой цилиндр (рис. 28). Во сколько раз объём шара больше объёма цилиндра, если известно, что отношение радиуса шара к радиусу основания цилиндра вдвое меньше, чем отношение поверхности шара к боковой поверхности цилиндра.

Рис. 28

Решение. Отношение объёма шара к объёму вписанного цилиндра

.

По условию известно, что

; –

равносторонний

Найдём отношение объёмов шара и вписанного цилиндра

.

Ответ: 16:9.

3.4 Примеры заданий ЕГЭ с конусом

Рис. 29

Пример 1. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (рис. 29). Найдите площадь описанной около конуса сферы.

Решение. Пусть С - вершина конуса, О — центр его основания, АСВ - осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и СО — высота конуса, то прямая АВ - проекция прямой СА на плоскость основания конуса. Следовательно, САВ равен углу между образующей конуса и площадью его основания. Поэтому САВ= 60° и равнобедренный треугольник АВС — правильный. Отсюда следует, что

СА = АВ = ВС = 6м.

Найдем положение центра сферы, описанной около конуса. По определению такой сферы, окружность основания конуса — сечение описанной сферы и вершина конуса лежит на этой сфере. По свойству диаметра сферы, проходящего через центр любого ее сечения, прямая СО перпендикулярна плоскости основания конуса и поэтому центр О1 описанной сферы лежит на прямой СО. Отсюда следует, что центр О1 сферы, описанной около конуса, есть центр окружности, описанной около его осевого сечения.

В правильном треугольнике

АВС R=O1C=(м)

Найдем площадь сферы:

(м2).

Ответ: 48м2.

Рис. 30

Пример 2. В шар радиуса R = 6 см вписан конус высотой h (рис. 30). Выразить объем и боковую поверхность конуса как функции аргумента h.

Решение. Имеем:

и

где r — радиус основания, L — образующая конуса.

Из учитывая, что r = ВА – высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, имеем:

r2 = и . Или r2и , .

Теперь получаем:

,

 Скачать реферат