Интегралы. Дифференциальные уравнения

Интегралы

Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие опреде

ленного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Если и – первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство

= + .

Множество всех первообразных для функции на промежуткеназывается неопределенным интегралом от функциии обозначается . Таким образом,

= + .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть

,

где – произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

Метод замены переменной

,

где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям

,

где и – дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида

и ,

причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рациональную функцию можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов вида делают замену , а для интегралов в общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выражений в общем случае используется замена переменной , где .

Талица основных интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

 Скачать реферат