Функция многих переменных

Рефераты / Математика / Функция многих переменных

0 а х хх b x

Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей

точками а=х<x<…< х< х<… <х=b.

На каждом отрезке [х; х] возьмём произвольную точку и вычислим значение f(). Тогда площадь Sзаштрихованного прямоугольника, будет равна

S= f(), где = х- х.

Площадь S всей трапеции приблизительно равна

Пусть . Естественно считать, что

S. (6.2)

К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.

Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками

а=х<x<…< х< х<… <х=b.

На каждом из созданных отрезков [х; х] возьмём произвольную точку и составим сумму

, где = х- х,

которую будем называть интегральной суммой функции f(x).

Обозначим . Если существует конечный предел интегральной суммы , при , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек, то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].

То есть, по определению,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

Относительно существования определённого интеграла имеет место такая теорема

Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

2. Если f(x), то равен площади соответствующей криволинейной трапеции: =S. Если f(x)<0, то = -S.

Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;а], а>0 задана нечётная функция, то=0. Например, Если функция f(x) чётная, то =2.