Функция многих переменных

Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные

а затем проинтегрировать

Пример 7.4. Найти общее решение уравнения

>

Решение. Сначала отделим переменные

,

а затем проинтегрируем

, , у=Сlnx.

3. Функция называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа выполняется тождество

Пример 7.5.

1) =,

- однородная функция третьего измерения.

2) =- однородная функция нулевого измерения.

Уравнение y’=называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если

(7.2)

Очевидно, уравнение вида

будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение

однородное. Считая, в соотношении (7.2) , получим

Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

(7.3)

Применим в уравнении (7.3) подстановку

, ,

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

,

которое всегда интегрируется в квадратурах:

,

.

После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить

Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой ,.

Пример 7.6. Найти общее решение уравнения

Решение. Применим подстановку ,. Тогда получим

,

, ,

, , .

Пример 7.7. Решить задачу Коши

, у(1)=2.

Решение. Поскольку обе функции

однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде

и применим подстановку ,. Тогда получим

,

, , .

Из начального условия найдём постоянную интегрирования:

Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:

Лекция 16. Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

План.

1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

2. Комплексные числа.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

(7.4)

где - известные функции переменной х.

Термин «линейное уравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах, поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимися переменными таким образом (методом Бернулли).

Будем искать решение уравнения (7.4) в виде произведения

 Скачать реферат