Функция многих переменных

Рассмотрим правильную рациональную дробь

знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:

1) множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида

++…+;

2) множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида

++…+,

где А, М, N- неопределённые коэффициенты.

Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение.

+,

х+5=А(х+2)+В(х+1),

А=4, В=-3.

= 4-3= 4ln-3ln+C.

3. 1. Интегралы вида

где R(х, у) – рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

ax+b=t.

2. Интегралы вида

где R – рациональная функция, p, q- целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

=t,

где п – общий знаменатель дробей ,,… .

3. Интегралы вида

(6.1)

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки

, , ,

х=2arctgt, dx=.

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.

1) Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.

2) Если R(sin x,-cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.

3) Если R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку

tg x=t, , ,

х=arctgt, dx=.

4. Рассмотрим более детально интегралы вида

,

где т, п – целые числа.

1) Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.

2) Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.

3) Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам

, .

4) Для нахождения интегралов вида

,

удобно пользоваться формулами

5. В интегралах

, , ,

надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул

Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции.Определённыйинтеграл его геометрический смысл и свойства.

Формула Ньютона-Лейбница.

План.

1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.

2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.

3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)на [a;b].

у у= f(x)

 Скачать реферат