Логические задачи и методы их решения

Лыжи

Рис. 34.

Метод Эйлера (рис. 34) является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения. Однако не всегда к задаче, с первого взгляда похожей на эту, нужно строить такую схему. Прежде, чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условия. Иногда с помощью арифметических действий решить такую задачу легче.

Задача 20. Одна швейцарск

ая община насчитывает 50 членов. Родной язык всех 50 членов общины – немецкий, но 20 из них говорят еще по-итальянски, 35 из них владеют французским и еще 10 не знают ни итальянского, ни французского. Сколько членов общины говорят и по-французски, и по-итальянски?

Решение. 50 – 10 = 40 - владеют иностранным языком (кроме немецкого). 20 + 35 = 55 и 55 – 40 = 15 – членов общины говорят и по-французски, и по-итальянски (рис. 35).

Рис. 35.

1.4 Буквенные ребусы и задачи со звездочками

Методом подбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примеры со звездочками.

Такие задачи различны по сложности и схеме решения. Рассмотрим один такой пример.

Например:

к а ф т а н б у л о к с о л д а т и

к а ф т а н б ы л о * * ч е р т и

т р и ш к а м н о г о * *

* *

*

* * * *

* * * * *

7 * * * * *

* * * *

* * * * *

* * * 7 7 7 0

б у к в а. 6 = с л о в о

Задача 21. Г + О = Л – О = В О = Л – О = М – К = А

Решение: Г + О = Л – О = В * О = М – К = А. Т.к буква О встречается в примере больше других, выбор вариантов начпем с нее, О ≠ 0, т.к. О ≠А, а В • О = А;

О ≠ 9, т.к. Г + О = А, кроме того, Л > О на А единиц

О ≠ 8, т.к. Г + О = А и Л > О получим, что Л = А = 9.

Из равенства В • О = А следует, что нужно исключить также варианты О = 7, О = 6, О = 5 иначе при минимальном В = 2 (В•О) – двузначное число. Пусть О = 4, тогда В = 2, а А = 8, но Л – 4 = 8 не имеет смысл ни при одном Л, значит О ≠ 4.

Пусть О = 3, тогда в = 2 или В = 3. Если В = 2, то А = 6, Л = 9, но Г = 3 = О. Если В = 3, то А = 9, Л = 12. Значит О ≠ 3

Пусть О = 2. Г + 2 = Л – 2 = В, 2 = М – К = А.

Если В = 3, то А = 6, Г + 2 = 6, Г = 4, Л – 2 = 6, Л = 8, М – К = 6, М = 7 и К = 1.

Если В = 4, то А = 8, Л = 10 (противоречит условию, что Л – цифра).

Пусть О = 1. Тогда Г + 1 = Л – 1 = В, 1 = М – К = А, В = А, что неверно.

Задача имеет единственное решение:

Г = 4; О = 2; В = 3; М = 7; К = 1; А = 6; Л = 8.

4 + 2 = 8 – 2 = 3 • 2 = 8 – 2 = 7 – 1 = 6.

Задача 22. Перед началом бегов на ипподроме четыре знатока из числа зрителей обсуждали шансы фаворитов А, В или С.

Первый: Заезд выиграет А или С.

Второй: Если А придет третьим, то С не выиграет.

Третий: Если А будет вторым, то выиграет В.

Четвертый: Вторым придет А или В.

После заезда выяснилось, что три фаворита А, В, С действительно заняли первые три места и что все четыре утверждения знатоков оказались истинными. Как фавориты поделили между собой три первых места?

Решение. Эта задача по схеме решения похожа на задачу 10. Возможны 6 вариантов исхода заезда (з!):

А В С

А С В (4)

В С А (1), (4)

В А О (1)

С А В (3)

С В А (2).

Справа указаны утверждения, которым противоречат эти варианты. Всем условиям задачи удовлетворяет расположение мест, при котором фаворит А пришел первым, В – вторым и С – третьим.

Эта задача не является сложной, она может быть использована в качестве тренировочной, намечающей подход к решению задач, которые требуют установить истинность или ложность множества высказываний.

1.5 Истинностные задачи

Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.

Задача 23. В одном старинном задачнике суд Париса описан следующим образом: богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богинивысказали следующие утверждения:

1. Афродита: Я самая прекрасная.

2. Афина: Афродита не самая прекрасная.

3. Гера: Я самая прекрасная.

4. Афродита: Гера не самая прекрасная.

5. Афина: Я самая прекрасная.

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему во что бы то ни стало, нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все остальные утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис,исходя из такого предположения, выпести то решение, которое ожидали от него богини, и если мог, то кто из богинь самая прекрасная?

Решение. Для удобства решения высказывания в тексте задачи пронумерованы:

1 – 5. Составим таблицу (рис. 36)

Рис. 36.

Поочередно предполагая каждую богиню самой прекрасной, проверим, не приведет ли это предположение к противоречию с условием задачи. «+» - истинное высказывание, «-» - ложное. Пусть Афина самая прекрасная из богинь. Тогда высказывание 5 и 2 истинны, а все остальные ложны. Но если ложно высказывание 3, тогда 4 должно быть истинно, и Афродита говорит правду, получили противоречие условию, что правду говорит только прекраснейшая из богинь. Значит, первоначальное предположение неверно: Афина не самая прекрасная. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что самая прекраснейшая из богинь – Афродита.

Задача имеет единственное решение.

Задача 24. До царя Гороха дошла молва, что наконец-то убили Змея Горыныча. Царь знал, что это мог сделать Илья Муромец, Алеша Попович или Добрыня Никитич. Вызвал царь к себе богатырей. И вот они, запыленные, явились ко двору. Стал спрашивать их царь. Трижды каждый богатырь ответ держал.

Добрыня Никитич:

- Я не убивал Змея.

- Я выезжал в заморские страны.

- Змея убил Алеша Попович.

Илья Муромец:

 Скачать реферат