Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Заработок на криптовалютах по сигналам. Больше 100% годовых!

Заработок на криптовалютах по сигналам

Трейдинг криптовалют на полном автомате по криптосигналам. Сигналы из первых рук от мощного торгового робота и команды из реальных профессиональных трейдеров с опытом трейдинга более 7 лет. Удобная система мгновенных уведомлений о новых сигналах в Телеграмм. Сопровождение сделок и индивидуальная помощь каждому. Сигналы просты для понимания как для начинающих, так и для опытных трейдеров. Акция. Посетителям нашего сайта первый месяц абсолютно бесплатно.

Обращайтесть в телеграм LegionCryptoSupport

Определение 3.3 Пусть $ f$- некоторая функция, $ \mathcal{D}(f)$- её область определения и $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$- некоторый (открытый) интервал (может быть, с 29 src="images/referats/660/image004.gif" alt="$ a=-\infty$">и/или $ b=+\infty$)7. Назовём функцию $ f$непрерывной на интервале $ (a;b)$если $ f$непрерывна в любой точке $ x_0\in(a;b)$, то есть для любого $ x_0\in(a;b)$существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$(в сокращённой записи: $ \forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)).$

Пусть теперь $ [a;b]$- (замкнутый) отрезок в $ \mathcal{D}(f)$. Назовём функцию $ f(x)$непрерывной на отрезке $ [a;b]$, если $ f$непрерывна на интервале $ (a;b)$, непрерывна справа в точке $ a$и непрерывна слева в точке $ b$, то есть $ 1)\quad\forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0);$

$ 2)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to a+}f(x)=f(a);$$ 3)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to b-}f(x)=f(b).$

Теорема 3.5 Пусть $ f(x)$и $ g(x)$- функции и $ I$- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$и $ g$непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$также непpеpывна на $ I$.

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 - пpедложение 3.3:

Предложение 3.4 Множество $ \mathcal{C}_I$всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$- это линейное пpостpанство:

$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad
C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция $ f$непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$и $ f(b)$- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$(то есть существует хотя бы один корень $ x_0$уравнения $ f(x)=0$).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$в случае $ f(c_1)<0$или $ [a;c_1]$в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$корень найден; в случае $ f(c_2)<0$рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$в случае $ f(c_2)>0$- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$и т.д.

Страница:  1  2  3  4  5  6 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2021 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы