Теория сравнений

Рефераты / Математика / Теория сравнений

Теорема 17. Если , , то , где .

Доказательство. Если , 2 height=25 src="images/referats/3083/image122.png">, то , то и, согласно свойствам наименьшего общего кратного,.

2. Сравнения первой степени с одной переменной

2.1 Основные понятия

Определение 1. Сравнением первой степени с одной переменной называется сравнение вида

(2.1)

где

Будем говорить, что целое число удовлетворяет сравнению (2.1), если верное сравнение.

Теорема 1. Если целое число удовлетворяет сравнению (*), то и весь класс по состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Доказательство. Имеем: , отсюда получим, что . Обозначим через разность , то есть . Следовательно, . А так как число удовлетворяет сравнению (2.1), то сравнение

(2.2)

является верным. Кроме того,

Получим

(2.3)

Но тогда по свойству транзитивности из (2.2) и (2.3) получим, что

то есть удовлетворяет сравнению (2.1), поэтому весь класс , состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению (2.1). Теорема 1 доказана.

Определение 2. Решением сравнения (2.1) называется класс вычетов по , которые при подстановке в сравнение обращают его в верное сравнение.

Число решений сравнения по это число решений этого сравнения в какой-либо полной системе вычетов по модулю .

Примеры.

1) . Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7: (так как классы вычетов будут ).

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, удовлетворяет сравнению, а поэтому класс вычетов по является решением сравнения.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Таким образом, сравнение имеет одно решение или, в другом виде, .

Ответ: .

2).

Классы вычетов по mod 10: . Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по mod 10: {0, 1, 2, 3, 4, 5, -4, -3, -2, -1}. Проверим для каждого из этих чисел, будет ли выполнено условие . Имеем: