Теория сравнений

Пример 1. Определим, сравнимы ли числа и по модулю .

Решение. При делении и на получаются одинаковые остатки Следовательно,

Определение. Два или несколько чисел, дающие при делении на одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю .

Теорема 2. Отношение сравнимости рефлексивно: .

Доказательство. иимеют одинаковые остатки при делении на .

Теорема 3. Отношение сравнимости симметрично: если , то .

Доказательство. Если и имеют одинаковые остатки при делении на , то остатки от деления и на также равны.

Теорема 4. Отношение сравнимости транзитивно: если

то .

Доказательство. Если остатки от деления на одинаковы у чисел и , а также у и , то и тоже имеют одинаковые остатки при делении на .

Таким образом, отношение сравнимости есть отношение эквивалентности.

Теорема 5. Если и произвольное целое число, то

.

Доказательство. Если , то , , , .

Теорема 6. Если и1, то .

Доказательство. Если , то |, |, но тогда условие дает |, т.е. .

Теорема 7. Если и произвольное натуральное число, то .

Доказательство. Если , то |,|,.

Теорема 8. Если , где и произвольные натуральные числа, то.

Доказательство. Если , то |, |,

натуральное (, тогда |, .

Теорема 9. Если , , то и .

Доказательство. Если и , то и . Получим, что

Теорема 9'. Если , то .

 Скачать реферат