Теория сравнений

Теорема 10. Если и , то .

Доказательство. Если и , то height=25 src="images/referats/3083/image078.png">и . Тогда по транзитивности сравнений получим, что .

Теорема 10'. Если , то

.

Доказательство. Последовательно применяя теорему 7, получим:

.

Теорема 11. Если , то при любом целом ,.

Доказательство. При утверждение верно по теореме 2, а при оно верно согласно теореме 10', если и .

Переход от сравнений , к сравнениям

, ,

будем называть соответственно сложением (вычитанием), умножением, возведением в степень сравнений.

Так как из сравнения следует , то из сравнений и следует также, что и .

Теорема 12. Если и произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то .

Доказательство. Если , то, согласно теоремам 7 и 11, имеем:

при .

По теореме 9', получаем ,

т.е. .

Теорема 12'. Если и многочлен с целыми коэффициентами, то

.

Теорема 13. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

Доказательство. Ввиду симметричности отношения сравнения достаточно рассмотреть случай, когда дано сравнение . Складывая это сравнение со сравнением , получаем .

Следствие. В левой и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же слагаемое.

Теорема 14. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слагаемые, делящиеся на модуль.

Доказательство. Если и , т.е. , то, складывая эти сравнения, получаем . Аналогично из и получаем .

Поскольку левую и правую части сравнения можно менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.

Теорема 15. Еслии , то .

Доказательство. Если , то . Из ,в силу транзитивности отношения делимости получаем , .

Теорема 16. Если , то множество общих делителей и совпадает с множеством общих делителей и . В частности,

Доказательство. Если , то , , , любой общий делитель чисел и является общим делителем чисел и , и, наоборот, если и , то .

Поскольку пара и пара имеют одни и те же общие делители, то и .

 Скачать реферат