Теория сравнений

.

Пользуясь той же теоремой Ферма, получаем, что если удовлетворяет сравнению (3,16), то , и, таким образом, сравнения (3,15) и (3,16) эквивалентны.

Из этой теоремы непосредственно вытекает следу

ющая.

Теорема 3. Сравнение по простому модулю , степень которого больше, чем этот модуль или равна ему, может быть заменено эквивалентным сравнением степени, меньшей .

Доказательство. Пусть многочлен с целыми коэффициентами степени . При делении на ), частное и остаток будут также многочленами с целыми коэффициентами:

,

где степень меньше степени , т.е. меньше, чем . Согласно предыдущей теореме, сравнения и эквивалентны.

Пример 2. Сравнение заменить эквивалентным сравнением степени, меньшей чем 7.

Решение. Мы получим эквивалентное сравнение, если заменим на , на , на . Таким образом, заданное сравнение эквивалентно сравнению

т.е. сравнению .

Теорема 4.Если многочлены с целыми коэффициентами: , и все коэффициенты делятся на простое число , то любое решение сравнения

(3.17)

является решением, по крайней мере, одного из сравнений:

(3.18)

Доказательство. Пусть решение сравнения (3.17), т.е. . Поскольку все коэффициенты делятся на , будем также иметь , поэтому

Из сравнимости произведения с нулем по модулю следует, что по крайней мере один из этих множителей сравним с нулем по этому модулю, т.е. решение по крайней мере одного из сравнений (3.18).

Пример 3. В сравнении левую часть можно представить в виде , и мы находим все решения этого сравнения, решая сравнения: , , т.е. и . Все эти четыре класса удовлетворяют нашему сравнению.

Для составных модулей эта теорема неверна. Например, сравнению

удовлетворяет класс , не являющийся решением ни одного из сравнений:

,

Теорема 5.Сравнение степени по простому модулю с коэффициентом при старшем члене, не делящимся на , может иметь не больше чем решений.

Доказательство. Утверждение теоремы верно при . Действительно, в этом случае мы имеем сравнение 1-й степени: , где , т.е. , а такое сравнение имеет в точности одно решение. Применим теперь для доказательства теоремы метод полной математической индукции.

Предположим, что утверждение теоремы верно для всех многочленов () – й степени со старшими коэффициентами, не делящимися на простой модуль . Возьмем теперь произвольный многочлен – й степени:

,

где , и рассмотрим сравнение

(3.19)

Страница:  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2024 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы