Теория сравнений

Найдем такое целое число k, чтобы делилось на 5. Например, . Тогда получим: , .

Проверка. , 18 делится на 9, поэтому при подстановке в сравнение вместо переменной значения 4, получим верное сравнение, следовательно, число 4 удовлетворяет сравнению, поэтому класс целых чисел, содержащий число 4, является решением сравнения.

Ответ:

2)

НОД, следовательно, сравнение имеет одно решение.

(при будет )

,

Ответ: .

2.6 Метод Эйлера

Получим метод решения сравнения

с помощью функции Эйлера.

Теорема 1. Пусть дано сравнение (2.9), . Тогда класс вычетов

по модулю m является решением сравнения (2.9), где функция Эйлера.

Доказательство. Так как , то по теореме Эйлера имеет место сравнение где функция Эйлера

Выберем , тогда при подстановке его вместо в сравнение (2.9) и, учитывая, что

получим сравнение

которое является верным в силу теоремы Эйлера. Следовательно,удовлетворяет сравнению (2.9), а класс вычетов

по модулю m является решением сравнения, или, по-другому, решение сравнения (2.9). Теорема 1 доказана.

Примеры.

1)

, следовательно, сравнение имеет одно решение,

Преобразуем произведение . простое число, то . Поэтому

,

Ответ: .

2) .

, поэтому сравнение имеет одно решение.

1-й способ – способ подбора. Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 34: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33}.

Проверим, какое из этих чисел удовлетворяет сравнению, то есть . Это будет , так как . Следовательно, решение сравнения.

Ответ: .

2-й способ – способ преобразования коэффициентов.

, k

Найдем такое целое число , при котором . Например, , тогда .

,решение сравнения.

Ответ:

3-й способ – метод Эйлера (с помощью функции Эйлера).

Упростим произведение

решение сравнения.

Ответ:

3. Сравнения высших степеней

3.1 Основные понятия

Определение 1.Сравнением n-й степени с одной переменной называется сравнение вида

где многочлен с целыми коэффициентами:

 Скачать реферат