Решение задачи линейного программирования симплексным методом

Задача II

Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют три вида сырья S1, S2, S3. На изготовление единицы продукции P1 используют сырье S1 = 4ед., S2 = 5ед., S3 = 4ед. На изготовление единицы продукции P2 используют сырье S1 = 3ед., S2 = 4ед., S3 = 3ед. Запасы сырья S1 составляют не более чем 320 ед., S2 не более чем 318 ед., S3 не более чем 415 ед. Прибы

ль от единицы продукции P1 составляет 4 рубля, от P2 составляет 5 рублей.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Решение:

Таблица данных:

Пусть х1 - количество единиц продукции P1, а х2 - количество единиц продукции P2, тогда целевая функция: max Z=4х1+5х2

Ограничения:

4х1 + 3х2 ≤ 320;

5х1 + 4х2 ≤ 318;

4х1 + 3х2 ≤ 415;

х1, х2 ≥ 0.

Приведем систему ограничений к каноническому виду:

4х1 + 3х2 + х3 = 320;

5х1 + 4х2 + х4 = 318;

4х1 + 3х2 + х5 = 415;

хj ≥ 0 (j = 1,…,5)

Тогда целевая функция: max Z=4х1+5х2+0х3+0х4+0х5

Составим симплексную таблицу:

Δ0 = 320×0 + 318×0 + 415×0 = 0; Δ1 = 4×0 + 5×0 + 4×0 - 4 = -4;

Δ2 = 3×0 + 4×0 + 3×0 - 5 = -5; Δ3 = Δ4 = Δ5 = 0.

Начальный опорный план Х = {0; 0; 320; 318; 415} не оптимальный.

Так как │-5│>│-4│, то второй столбец - разрешающий. Минимальное симплексное отношение min Θ = 318/4, значит вторая строка разрешающая и а22 = 4 - разрешающий элемент.

1-ая итерация: переменная х2 записывается в столбец базисных переменных вместо х4. Элементы 2-ой строки делятся на а22 = 4, а второй столбец заполняется нулями, все другие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.

После заполнения таблицы видим, что все Δj ≥ 0, поэтому опорный план Х* = {0; 318/4} = {0; 79,5} является оптимальным, а максимальное значение целевой функции равно max Z = 4×0 + 5×79,5 = 397,5

Из симплексной таблицы max Z = 1590/4 = 397,5, значит решение верное.

Ответ: max Z = 1590/4 = 397,5, при х1 = 0; х2 = 318/4 = 79,5

Вывод: Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, в размере 397,5 рублей, необходимо запланировать производство 79,5 единиц продукции P2, а производство продукции P1 экономически не целесообразно.

 Скачать реферат