Плоские кривые

Способом проектирования могут быть получены многие из часто встречающихся кривых. Сюда относится циклоида, являющаяся параллельной проекцией винтовой линии на плоскость, параллельную её оси. Спираль Архимеда может быть определена как проекция конической винтовой линии на плоскость, перпендикулярную её оси. Овалы Декарта могут быть определены как проекции линии пересечения двух конических поверх

ностей с параллельными осями на плоскость, перпендикулярную к этим осям, и т.д.

5. Кривая определяется заданием её дифференциальных свойств.

Непосредственно задаваемое по условию задачи или вытекающее из этого условия соотношение между бесконечно малыми элементами кривой выражается сначала в виде некоторого дифференциального уравнения. Последующее интегрирование этого уравнения приводит к обычному уравнению искомой кривой. Такой способ определения уравнения кривой характерен для многочисленных задач геометрии, механики, физики, техники. Так показательная кривая может быть определена как линия, у которой подкасательная для всех точек имеет одно и то же значение. Трактриса характеризуется постоянством длины касательной. Радиоидальная спираль определяется как линия, для которой радиус кривизны обратно пропорционален длине дуги. На основании геометрических соображений и законов механики выводятся дифференциальные уравнения цепной линии, изогнутой оси балки и т.д.

6. Кривая определяется как линия, получаемая в результате того или иного геометрического преобразования уже известной кривой.

Этот способ образования кривых является наиболее эффективным. Он не только даёт неиссякаемые средства для определения новых кривых, но и позволяет определять свойства но вой кривой как отражение свойств преобразуемой кривой.

К числу основных геометрических преобразований относятся аффинное, проективное, инверсия, квадратичное, двойственное, касательное.

7. Мы заключим обзор различных способов, дающих средства для аналитического определения кривых, ещё одним, естественным по сравнению с предыдущими, в том смысле, что составлять уравнение кривой в том смысле уже не приходится, так как кривая задаётся сразу же в аналитической форме и представляет собой график той или иной функции. Выше было замечено, что метод Декарта, которым определяется соответствие между линией и уравнением, даёт неограниченные возможности для определения кривых самых разнообразных форм. В арсенале замечательных кривых, используемых в науке и технике, имеется немало линий, которые исторически возникли аналитическим путём, т.е. определялись первоначально как кривые, соответствующие определённым уравнениям. к ним относятся декартов лист – график функции, определяемой уравнением . Сюда же относятся параболы и гиперболы всших порядков – графики функций определяемых уравнением , кривые Ламе – графики функций, определяемые уравнением . К аналитически определяеым кривым относятся также кривые, являющиеся графиками тригонометрических функций, показательной функции и многие другие.

3. Классификация плоских кривых

В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.

Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид и является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку , как уравнение принимает вид и становится, таким образом, трансцендентным.

Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

а) Алгебраические кривые

Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.

Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде

Очевидно, число членов уравнения равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.

Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители то такому уравнению будет соответствовать система кривых В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.

В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая , будем иметь , и если a1, a2, …,an – корни уравнения , то

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).

Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.

Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.

Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).

Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых , касающихся данной алгебраической кривой.

 Скачать реферат