Линейные пространства

Введение

На сегодняшний день моя тема актуальна, потому что мы часто встречаемся в векторной алгебре с линейными пространствами. Знать, что они из себя представляют и их свойства, я думаю, должен каждый.

Объектом моего реферата является линейное пространство.

Предметом – изучение линейных пространств и их свойства.

Задачи моей работы состоят:

1. Изучить линейное про

странство

2. Рассмотреть аксиомы векторного пространства

3. Проанализировать векторное подпространство

4. Ознакомится с базисом линейного пространства

В моем реферате мы ознакомимся с формулами линейного пространства, с его основными свойствами. Также рассмотрим другие важные вопросы и докажем некоторые важные теоремы.

При написании реферата мне очень помогла «Советская энциклопедия», где я нашла много доступного материала.

Линейное пространство

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми свойствами, называется векторным пространством. (2)

Следует отметить, что под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n. Легко убедиться, что если x и y – многочлены степени не выше n, то они будут обладать свойствами 1–8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n, не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени n. А множество многочленов степени не выше n, но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элементов на число: также многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1–8, вытекает существование единого нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора х на действительное число 0 и существование для каждого вектора х единственного противоположного вектора (-х), равного произведению этого вектора на действительное число (-1).

Линейное пространство (векторное) V(P) над полем P – это непустое множество V, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x+yV и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементуи любому элементу ставится в соответствии элемент из V(P), обозначаемый .

При этом удовлетворяются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности V не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. 1(существование нейтрального элемента относительно умножения).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества V называют векторами, а элементы поля P – скалярами. Свойства 1–4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства.

1. Векторное пространство является абелевой группой.

2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3. для любого .

4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5. (–1) х = – х для любого х є V.

6. (–α) x = α(–x) = – (αx) для любых α є P и x є V.

Аксиомы векторного пространства

Пусть V – непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать 84247c5fc8d8a653c22f7a64f02a7a2b.png…и т.д. Пусть на Vзаданы и определены́ каким-либо образом две операции. Первая операция – бинарная аддитивная операция (или грубо говоря – операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: b71edd70fcad670e99a9912ba5e55d77.png(db76050cbbdd46c87b3d916104d91626.png). Вторая операция – умножение вектора на какой-нибудь элемент α такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор (939d02774ed10491afd1003318e04946.png). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел). (4)

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства. (3)

1. a) сумма любых двух элементов из V и б) произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).

Страница:  1  2  3  4 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2020 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы