Плоские кривые

Вокруг эллипса естественным образом описывается прямоугольник со сторонами, равными осям эллипса и параллельными координатным прямым, который является результатом сжатия квадрата, описанного вокруг исходной окружности. Называется он осевым прямоугольником эллипса. Если научиться его строить по уравнению эллипса, то довольно легко после этого изобразить и сам эллипс.

1) Например, дано уравне

ние а) 3х2 + у2 = 7. Изобразить эллипс двумя способами. [16]

I способ

Запишем его в виде . Устанавливаем, что , строим осевой прямоугольник со сторонами 2R, l и изображаем сам эллипс (рис. 17). Отметим, что в правой части уравнения должно быть положительное число, а в левой – сумма квадрата абсциссы, взятого с положительным коэффициентом, и квадрата ординаты.

Рис. 17

II способ

Приведём уравнение к каноническому виду.

Разделим обе его части на 7.

Получим, что

Строим осевой прямоугольник со сторонами а и 2b, а затем изображаем эллипс.

Отметим, что, например, уравнение 3х2 + 5у2 = 7 следует сначала преобразовать к виду х2 + у2 = или а затем находить R, k и a, b соответственно.

Если центр эллипса находится не в начале координат, но его оси параллельны координатным осям, то он задаётся уравнением (4),

где С (а; b) – центр эллипса. Это легко следует из формул параллельного переноса, или каноническим уравнением

(5) – С (х; у) – центр эллипса.

Данного материала достаточно для построения эллипса в том случае, если он задан уравнением, содержащем как квадраты, так и первые степени переменных.

б)

I способ

Преобразуем к виду (4):

Это уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где k = (рис. 18)

Рис. 18

II способ

Преобразуем к виду (5): . Получили уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где а = 3, b = 2.

Строим сам эллипс.

2. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих эллипсов:

а)

Приводим уравнение к каноническому виду , а = 3, b = 2.

Фокусы F1 и F2 имеют координаты F1(с; 0) и F2(– с; 0).

Итак, F1(; 0) и F2(; 0) а = 3, b = 2.

б) Решаем аналогично а). , а = 3, b = 1.

F1(с; 0), F2(– с; 0).

Итак, F1(; 0) и F2(; 0) а = 3, b = 1.

в)

, а = , b = .

F1(с; 0), F2(– с; 0):

Итак, а = , b = , F1(; 0), F2(-; 0).

3. Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу и равноудалённых от фокусов.

Пусть М (х; у), тогда МF1 = МF2 (по условию). Т. к. F1(с; 0), F2(– с; 0): то

Если х = 0, то, подставляя его в исходное уравнение, получим: , Следовательно, и .

4. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, изобразить области, определяемые следующими системами неравенств.

а)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, 3-м неравенством.

Найдём пересечение этих множеств.

I. Построим эллипс но т. к. неравенство строгое, то точки эллипса не принадлежат искомой области, т.е. неравенство (2) задаёт внутренние точки эллипса.

Устанавливаем, что R = 3, (0< k <1), Cтроим осевой прямоугольник со сторонами и изображаем эллипс.

II. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого строим прямую и штрихуем определяемую область.

III. Аналогичные рассуждения для построения области, заданной неравенством у + 2 > 0.

Построение.

б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, и 3-м неравенствами.

Найдём пересечение этих множеств.

I. – эллипс, точки которого не принадлежат искомой области (неравенство строгое), т.е. неравенство задаёт внешние точки эллипса. Приведём уравнение к каноническому виду

 Скачать реферат