Передача информации по каналу с решающей обратной связью

Кроме указанной группы комбинаций в том же трехмерном кубе может быть получена еще одна группа комбинаций с кодовым расстоянием d=2 (111, 001, 010 и 100). В этих кодовых комбинациях нечетное число единиц и каждая из комбинаций могут быть использованы для обнаружения ошибки, возникшей при передаче, так как при одиночном искажении в комбинации будет четное число единиц. Однако, если необходимо по

лучить код с обнаружением одиночной ошибки, в передаче может участвовать только одна группа, т. е. четыре комбинации из возможных восьми. В противном случае получится непомехоустойчивый код, в котором будут встречаться комбинации с d=l.

Таким образом, в помехозащищенных кодах есть комбинации разрешенные, составленные по определенному правилу, и запрещенные, не соответствующие этому правилу.

Так, если из восьми комбинаций трехразрядного кода образованы четыре комбинации, позволяющие обнаружить одиночную ошибку (например, 111, 001, 010 и 100), то эти комбинации являются разрешенными, а остальные четыре (000, 011, 101 и 110) — запрещенными, которые должны фиксироваться на приеме как искаженные. Иногда совокупность разрешенных кодовых комбинаций, которые при заданных возможных искажениях не могут перейти друг в друга, называют системой непереходящих сигналов.

Итак, видно, что построение помехоустойчивого кода (а код с обнаружением ошибки является простейшим типом такого кода) связано с недоиспользованием кодовых комбинаций, приводящим к так называемой избыточности. Избыточность означает, что из исходных символов можно построить больше комбинаций, чем их применено в данном коде.

Таким образом, установлено, что уменьшение числа используемых комбинаций приводит к повышению помехоустойчивости кода. Если идти дальше по этому пути и еще больше ограничить число разрешенных комбинаций, то можно создать код не только с обнаружением, но и с исправлением ошибки.

Выберем в трехмерном кубе такие вершины, кодовые обозначения которых отличались бы друг от друга на d=3. Такие вершины расположены на концах пространственных диагоналей куба. Их может быть только четыре пары: 000 и 111, 001 и 110, 100 и 011, 010 и 101. Однако из этих четырех пар для передачи можно брать только одну любую пару, так как большее число пар приведет к тому, что в передаче будут использоваться комбинации, отличающиеся друг от друга на d<3.

Код, образованный по такому правилу, может исправить одиночную ошибку или обнаружить две ошибки без их исправления. Пусть, например, передается код, состоящий из комбинаций 001 и 110. На приеме получена комбинация 100. Сравнение ее с исходными комбинациями показывает, что от комбинации 110 она отличается в одном (втором) разряде, а от комбинации 001 — в двух разрядах. Если считать, что сделана одна ошибка, то полученную комбинацию 100 следует исправить на 110.

От разрешённой комбинации 001 отличаются нa d=l комбинации 011, 000 и 101, а от комбинации 110 — комбинации 111, 100 и 010. Они и являются своеобразными комбинациями-спутниками, которые после приема можно относить к той или иной исходной комбинации.

Когда говорят об исправлении одиночной ошибки, считают, что вероятность двойной ошибки в канале связи пренебрежимо мала. Если такая вероятность достаточно велика, то код с d = 3 можно использовать для обнаружения двойных ошибок, но при этом исправить одиночную ошибку он уже не может. Действительно, если в нашем примере была принята комбинация 100, то нельзя утверждать, что была передана комбинация 110, так как при двойных ошибках это могла быть и искаженная комбинация 001.

Таким образом, дальнейшее повышение помехоустойчивости кода связано с увеличением кодового расстояния d, что приводит к увеличению избыточности (вместо восьми комбинаций используются только две).

Корректирующая способность кода зависит от кодового расстояния: а) при d=1 ошибка не обнаруживается; б) при d = 2 обнаруживаются одиночные ошибки; в) при d = 3 исправляются одиночные ошибки или обнаруживаются двойные ошибки. В общем случае

d = r + s + 1,

где d — минимальное кодовое расстояние; r — число обнаруживаемых ошибок; s — число исправляемых ошибок.

При этом обязательным условием является r≥s. Так, в нашем примере d = 3, и если r = s = l, то код может обнаружить одну ошибку и исправить ее. Если r =2, s=0, то код может только обнаружить две ошибки. Как следует из уравнения, для исправления одной ошибки и обнаружения двух ошибок необходимо, чтобы d = 2 + 1 + 1 =4. При d=4 может быть также вариант, когда r=3, s=0. Если d=5, то могут быть три варианта: r = s = 2; r=3, s=l; r = 4, s=0.

Если код только обнаруживает ошибки, то

d=r + l, т.е. r = d - 1.

Если код только исправляет ошибки, то

d=2s+1, т.е. s=(d – 1)/2

Итак, геометрические модели позволяют просто строить малоразрядные корректирующие коды. Однако при длине кода n>3 геометрической моделью пользоваться трудно, так как она должна быть многомерной. Поэтому для построения многоразрядных помехоустойчивых кодов используют различные правила и методики, к рассмотрению которых и перейдем.

1.2.3 Помехозащищенные коды. Циклический код

Циклические коды относятся к числу блоковых систематических кодов, в которых каждая комбинация кодируется самостоятельно (в виде блока) таким образом, что информационные k и контрольные m символы всегда находятся на определенных местах.

Возможность обнаружения и исправления практически любых ошибок при относительно малой избыточности по сравнению с другими кодами, а также простота схемной реализации аппаратуры кодирования и декодирования сделали эти коды широко распространенными.

Теория циклических кодов базируется на теории групп и алгебре многочленов над полем Галуа.

Многочлен (полином), который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней, называют приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют роль, сходную с простыми числами в теории чисел. Неприводимые многочлены Р(Х) можно записать в виде десятичных или двоичных чисел либо в виде алгебраического многочлена (табл. 1.1).

Таблица 1.1 Неприводимые многочлены и их эквиваленты

 Скачать реферат