Линейные уравнения и их свойства

Рефераты / Математика / Линейные уравнения и их свойства

Тема 4. Случайные величины

Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры и ht=24 src="images/referats/639/image168.gif">.

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.

4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения до .

5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью .

Параметры (в млн. руб), приводятся в таблице 5.

Таблица 5

Значения параметров

1	2	2	3	0,5

Решение.

1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:

2.Найдем параметр . Функция распределения обладает следующим свойством:=1. Вычислим предел

Отсюда =1.

Далее определим параметр . Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от до . Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем

Таким образом, =.

3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что =) как несобственный интеграл:

Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть .

Тогда

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:

По формуле

определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл

также методом интегрирования по частям. Пусть . Тогда

Последний интеграл уже найден при вычислении , поэтому можно записать:

Отсюда окончательно получаем:

После подстановки численных значений параметров, находим

Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения

При получаем

Подставляя численные значения параметров, имеем:

Величина , определяемая равенством , называется квантилем порядка . В задаче требуется найти . Запишем необходимое равенство: или . Логарифмируя последнее равенство , найдем