Линейные уравнения и их свойства
Тема 4. Случайные величины
Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:
Требуется найти:
1. Плотность распределения вероятности.
2. Параметры и
ht=24 src="images/referats/639/image168.gif">.
3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.
4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения до
.
5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью .
Параметры (в млн. руб),
приводятся в таблице 5.
Таблица 5
Значения параметров | ||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
3 |
0,5 |
Решение.
1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:
2.Найдем параметр . Функция распределения
обладает следующим свойством:
=1. Вычислим предел
=
.
Отсюда =1.
Далее определим параметр . Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от
до
. Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем
Таким образом, =
.
3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что =
) как несобственный интеграл:
.
Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть .
Тогда
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.
Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:
По формуле
определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл
также методом интегрирования по частям. Пусть . Тогда
,
.
Последний интеграл уже найден при вычислении , поэтому можно записать:
.
Отсюда окончательно получаем:
.
После подстановки численных значений параметров, находим
Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:
4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения
При получаем
Подставляя численные значения параметров, имеем:
Величина , определяемая равенством
, называется квантилем порядка
. В задаче требуется найти
. Запишем необходимое равенство:
или
. Логарифмируя последнее равенство
, найдем
.
При =0,5 получаем:
Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).
Задача для контрольной работы
Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах