Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Пример №28 (№82 из [10]).

Сходится ли равномерно ряд , если ?

Решение

Если , то . Так как -сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то по теореме Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Пример №29 (№86 из [10]).

Показать, что ряд сходится равномерно на интервале .

Решение

Так как при любом R и ряд - сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то ряд по признаку Вейерштрасса, сходится абсолютно и равномерно на интервале .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Практическое занятие №3

Тема: "Интегрирование и дифференцирование функциональных

последовательностей и рядов"

Тип занятия: практикум решения задач.

Форма занятия: комбинированная между коллективной и фронтальной.

Средства обучения на занятии: сборник задач, методические рекомендации к практическим занятиям, телевизор, подключенный к компьютеру, графопроектор, доска, мел.

Цель: закрепление знаний полученных на лекции, применение их на практике.

Методы: словесные, наглядные, по дидактической цели - познавательные, по характеру познавательной деятельности - проблемные.

Ход занятия:

Организационная часть: Студентам сообщается тема практического занятия, его цель, проверка присутствующих (3 минуты).

2. Основная часть: Проверка домашнего задания (12 минут). Фронтальный опрос по изученной теме (10 минут). Ознакомление с новым материалом, первичное закрепление и осмысление (60 минут). Подведение итогов и постановка домашнего задания. (5 минут).

Конспект занятия

Преподаватель: Тема занятия: "Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов". Цель - приобрести навыки решения задач по вышеуказанной теме. Но прежде, проведем самостоятельную работу, которая позволит определить, насколько успешно вы справились с домашним заданием.

Проводится самостоятельная работа по домашнему заданию на 15 минут. В самостоятельной работе предлагается 3 варианта, в каждом варианте по 2 задания. Например, Вариант №1: №№ 23, 26; Вариант №2: №№ 24, 27, Вариант №2: №№ 21,28. Преподаватель самостоятельно определяет какие задания и в какой последовательности будут содержать каждый из вариантов. Во время проведения самостоятельной работы у доски работают студенты, которым предлагаются наиболее сложные на взгляд преподавателя примеры. Например, №№ 29, 25. По завершении самостоятельной работы эти примеры проверяются аудиторией.

Преподаватель: А теперь давайте вспомним определения и формули-ровки теорем по теме "Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов", необходимые нам сегодня для решения упражнений.

Проводится фронтальный опрос с целью проверки теоретических знаний по изучаемой теме. Студентам предлагается отвечать на следующие вопросы у доски, выполняя необходимые при ответе записи. К доске вызываются сразу 3-4 студента.

Вопрос 1:. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы функционального ряда в точке.

Ответ: Теорема 1. Если функции непрерывны в точке , и функциональный ряд равномерно сходится на множестве , то его сумма также непрерывна в точке .

Вопрос 2: Как звучит теорема об интегрировании функциональной последовательности? Сформулируйте условие интегрируемости функционального ряда.

Ответ: Теорема 2. Если последовательность функций , непрерывных на , сходится равномерно на указанном отрезке к функции , то для последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива формула:

.

Следствие. Пусть функции , N непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке. Тогда для функциональный ряд вида будет равномерно сходиться на отрезке к или к , т.е. функциональный ряд можно почленно интегрировать:

.

Вопрос 3: Как звучат теорема о почленном дифференцировании функциональных последовательностей и рядов?

Ответ: Теорема 4. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на указанном отрезке. Тогда предел последовательности непрерывно диффепенцируемых функций непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство: