История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

Работа Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка повлияла на работу Картрайт и Литтлвуда (1945). В этой работе, посвященной математическому исследованию уравнения автоге­нератора под периодическим внешним воздействием, была обна­ружена необычайная сложность динамики, в частности, наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодических орбит. Эта ра­бот

а впоследствии оказала влияние на математиков, создававших основы математической теории сложной динамики и хаоса.

В России в 20-е годы в Московском университете сформиро­валась сильная научная школа Л.И.Мандельштама (1879-1944). Интересы этой школы охватывали, в частности, радиофизику, оп­тику, колебательные процессы в системах различной природы. Мандельштам первым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейных колебаний, — до этого по­лагали, что нелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик Ман­дельштама А.А. Андронов (1901-1952) установил, что адекватным математическим образом периодических автоколебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной тео­рии дифференциальных уравнений. Мандельштам сразу понял важность этого достижения и настоял на немедленной публикации результата. Андронов привлек также для анализа автоколебатель­ных систем созданный А.М.Ляпуновым аппарат теории устой­чивости. Одно из важных достижений — исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситу­ации, которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде (Горьком), где вокруг него формируется крупная научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходит классическая книга А. А. Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина «Теория колебаний». Один из соавто­ров книги – Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено и восстановлено только в последующих изданиях.

Одним из важных достижений развивающейся теории нели­нейных колебаний стало формирование Андроновым и Понтрягиным представления о грубых или структурно-устойчивых систе­мах. Представим себе пространство, точки которого изображают динамические системы. Система грубая, если около соответству­ющей ей точки пространства систем можно указать такую окрест­ность, что в ней будут располагаться только системы с топологи­чески эквивалентным устройством фазового пространства. В про­странстве параметров грубые системы занимают целые области. Эти области разграничены поверхностями, где располагаются не­грубые системы коразмерности один. На этих поверхностях могут располагаться линии коразмерности два и т. д.

Исследовательская программа нелинейной теории колебаний по Андронову и Понтрягину и состоит в выделении и изучении грубых ситуаций, а затем негрубых в порядке возрастающей ко­размерности. Что касается негрубых ситуаций, то они составляют предмет теории бифуркаций — глубокой и хорошо развитой математической дисциплины, одного из краеугольных камней нели­нейной динамики.

С 1970 г. с интервалом в 2 года в Горьком организуются школы-семинары по нелинейным колебаниям и волнам, в которых участ­вуют ведущие советские ученые. Этих школ состоялось 9, и они во многом определили распространение в нашей стране идей не­линейной динамики и динамического хаоса. Еще одна школа, восстанавливающая прерванную традицию, уже международная, состоялась в 1995 г. В формировании, распространении и популя­ризации в России представлений о хаотической динамике большую роль сыграли А. В. Гапонов-Грехов, Ю.И.Неймарк, М.И.Рабино­вич, Л. П. Шильников. В 1979 г. Кияшко, Пиковский и Рабинович предложили, по-видимому, первый простой радиотехнический ав­тогенератор, в котором целенаправленно был реализован режим хаотических автоколебаний.

Четвертая линия развития связана с гидродинамикой и про­блемой турбулентности. В 1883 г. была опубликована работа английского физика Осборна Рейнольдса (1842-1912) «Экспериментальное исследование об­стоятельств, которые определяют, будет ли движение воды прямо­линейным или волнистым, и о законе сопротивления в параллель­ных каналах». В зависимости от безразмерного параметра, из­вестного теперь как число Рейнольдса), движение воды в трубке было ламинарным или турбулентным. Хотя основные уравнения, описывающие динамику вязкой жидкости — уравнения Навье-Стокса, уже были известны, причины возникновения турбулент­ности оставались загадкой. С тех пор вопрос о природе турбулент­ности стоял перед наукой, приобретая со временем все большую остроту. Около 1920 г. английский физик Л.Ричардсон развил качественные представления о том, что в турбулентном течении имеется перенос энергии от крупных ко все более и более мел­ким завихрениям, пока энергия не диссипирует из-за вязкости в малых масштабах. В 1941 г. была предложена теория турбулент­ности Колмогорова-Обухова. Анализ основывался на предположе­нии, что при больших числах Рейнольдса турбулентное состоя­ние можно считать локально однородным и изотропным в стати­стическом смысле, и о том, что имеет место каскадная передача энергии от крупных пространственных масштабов к мелким в так называемом «инерционном интервале» — области масштабов, где вязкость несущественна. Замечательно простая и глубокая теория приводила ко вполне определенному теоретическому предска­занию — распределение энергии по спектру должно быть пропор­ционально /г~5'3, где к – волновое число («закон пяти третей»). К настоящему времени получены экспериментальные данные, хо­рошо согласующиеся с этим законом, но осознана также необхо­димость внесения уточнений в теорию.

Другое направление в попытках понять природу турбулентно­сти состояло в поисках ответа на вопрос — как возникает турбу­лентность, если постепенно увеличивать число Рейнольдса, начав от малых значений, когда течение заведомо ламинарное. В 1944 г. была опубликована статья советского физика Л.Д.Ландау (1908— 1968) «К проблеме турбулентности». В этой замечательной для своего времени статье Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате большого числа (каскада) последователь­ных бифуркаций, каждая из которых состоит в появлении ко­лебаний с новой частотой. Вновь возникающие частоты в ти­пичном случае находятся в иррациональном соотношении с ранее возникшими частотами. Аналогичные представления развивал несколько позже немецкий математик Э.Хопф (1902-1983; работа «Математический пример, демонстрирующий особенности турбу­лентности» опубликована в 1948). Поэтому данную картину воз­никновения турбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. Подчеркнем, что этим работам предшествовало формирование пред­ставлений об автоколебаниях, предельных циклах и бифуркациях в радиофизике и теории колебаний.

В 1963 г. американский метеоролог Э.Лоренц опубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение», в которой обсуждались результаты численного интегрирования с помощью компьютера системы трех обыкновенных дифференциальных урав­нений, моделирующей динамику жидкости при конвекции в по­догреваемом снизу слое. Будучи хорошо образованным матема­тически, Лоренц подверг полученные результаты тщательному и глубокому обсуждению, акцентировав внимание на взаимосвязи между наблюдаемой сложной динамикой и присущей системе не­устойчивостью фазовых траекторий. Позднее это свойство хаоти­ческой динамики пропагандировалось им под названием «эффект бабочки»: в приложении к метеорологии взмах крыльев бабочки может через достаточное время повлечь суще­ственное изменение погоды где-то совсем в другом месте. При­мерно в то же самое время А. Н. Ораевский с соавторами также по­лучили непериодические решения для аналогичных уравнений в теории одномодового лазера. Как работа Лоренца, опубликованная в метеорологическом журнале, так и работа Ораевского не были своевременно замечены и оценены.

 Скачать реферат