Геометрия Лобачевского

Модель Кэли — Клейна плоскости Лобачевского

Эта модель называется также моделью Кэли — Клейна. Ее построил английский математик Кэли, но он не понял, что введенная им геометрия в круге и есть геометрия Лобачевского; это сообразил позже, в 1870 г., немецкий математик Клейн.

1. Плоскость Лобачевского Λ2 порождена множеством Q* векторов мнимой длины трехмерного псевдоевклидова простра

нства V (индекса 1). Скалярное произведение векторов пространства V определяется при помощи заданной билинейной формы g(х, у), такой, что g(x, х) — невырожденная квадратичная форма индекса 1.

Рассмотрим проективную модель плоскости Λ2. На проективной плоскости Р2, порожденной векторным пространством V, квадратичная форма g(х, х) определяет линию второго порядка Q : Ф (X) = 0, где Ф (X) = g(х, х), и вектор порождает точку XÎP2. При этом на плоскости Р2 рассматриваются не любые проективные преобразования, а только те, которые порождены автоморфизмами псевдоевклидова векторного пространства V. Такие проективные преобразования образуют стационарную подгруппу НQ кривой второго порядка Q.

Пусть — ортонормированный базис пространства V, причем — мнимоединичный вектор. Если в этом базисе вектор имеет координаты, то, очевидно . Базис В порождает проективный репер R = (А1, А2, A3, E) плоскости Р2. В этом репере в силу предыдущего равенства линия Q определяется уравнением

.

Следовательно, Q — овальная линия второго порядка.

Напомним, что точкаявляется внутренней точкой относительно линии Q тогда и только тогда, когда . Это означает, что точка М порождена вектором мнимой длины, т. е. .

Таким образом, при отображении определяющем проективную плоскость Р2, множество p(W*)=Λ2 есть множество точек, внутренних относительно овальной линии Q.

Так как при отображении p аксиомы ΣΛ выполняются, то множество p(W*)=Λ2 точек, внутренних относительно кривой Q, является моделью плоскости Лобачевского. Линия второго порядка Q называется абсолютом плоскости Лобачевского Λ2.

2. Выясним, как изображаются прямые, отрезки, лучи, полуплоскости и углы на модели Кэли — Клейна.

Пусть W — двумерное подпространство пространства V и W' =W∩W*≠Æ. Тогда фигура p(W*) называется прямой плоскости Лобачевского Λ2. Так как есть прямая на проективной плоскости Р2, то прямая плоскости Лобачевского является пересечением прямой а с внутренней областью абсолюта W. На рисунке 3-1, а проективные прямые а и b определяют прямые аΛ и bΛ плоскости Лобачевского, которые представляют собой хорды (без концов) абсолюта W и выделены жирной линией. На том же рисунке проективные прямые с и d не определяют прямых на плоскости Λ2, так как на них нет точек, внутренних относительно абсолюта. Таким образом, проективная прямая и определяет прямую иΛ на плоскости Λ2 тогда и только тогда, когда на ней лежит хотя бы одна внутренняя точка относительно абсолюта W. Другими словами, проективная прямая и определяет прямую uΛ на плоскости Λ2 тогда и только тогда, когда она пересекает абсолют в двух вещественных точках U и V. Прямую иΛ будем обозначать через UV или VU (рис. 3-1, б).

Мы видим, что прямыми плоскости Лобачевского являются хорды (без концов) абсолюта. Любые две точки А и В плоскости А2, лежащие на прямой UV, не разделяют пару точек U, V (рис. 3-1, б), т. е. (UV, АВ)> 0.

Введем понятие «лежать между» для трех точек прямой на модели Кэли — Клейна. Предварительно докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть А, В и М — три точки на прямой UV плоскости А2. Если (АВ,MU) <0, то и (АВ, MV) <0.

доказательство

Пусть А и В — две точки плоскости Λ2, лежащие на прямой UV. Будем говорить, что точка М прямой UV лежит между точками А и В (и писать: А —М — В), если пара точек А, В разделяет пару точек М, U (или пару точек М, V), т. e.(AB,MU) < 0 (или (АВ, MV) < 0).

Легко видеть, что это определение не зависит от порядка, в котором берутся точки А и В. В самом деле, так как (АВ, MU) = (BA,MU)-1, то если А — М — В, то В — М — А. Нетрудно убедиться в том, что на модели Кэли — Клейна выполняются и все другие аксиомы группы II Гильберта.

Далее, обычным путем определяются понятия отрезка, многоугольника, луча, угла и полуплоскости. На рисунке 3-2 изображены отрезок АВ и угол О, внутренняя область угла О заштрихована. На этом же рисунке одна из полуплоскостей с границей UV заштрихована.

3. Выясним теперь, как интерпретируется на модели Кэли — Клейна расстояние между двумя точками. Для этого воспользуемся общей формулой расстояния между двумя точками.

Пусть X, Y — две точки плоскости L2.

Найдем векторы, порождающие точки пересечения прямой XY с абсолютом Q. Для этого записываем уравнение проективной прямой XY в параметрическом виде и находим отношение (или ) из уравнения точек пересечения линии с прямой . Если точки X, Y порождены векторами и , то уравнение принимает вид:

(2)

Учитывая, что векторы, мнимой длины, мы можем их нормировать так, чтобы , где r > 0 — тоже число, что и в формуле (4) §1 Гл.3. Из этой формулы находим

.

 Скачать реферат