Геометрия Лобачевского

Теорема 1. На плоскости Лобачевского отношение параллельности прямых в одном и том же направлении транзитивно.

доказательство

Теорема 2. Пусть на плоскости Лобачевского даны две пары параллельных прямых: прямые UV, U\V, параллельные в направлении V, и прямые U'V, U\V, параллельные в направлении V (рис. 3-4). Тогда существует движение, которое переводит первую пару параллельных прямых во

вторую.

доказательство

3. Докажем теорему о перпендикулярных прямых на модели Кэли — Клейна.

Теорема 3. Прямые АВ и CD на плоскости А2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда они изображаются хордами абсолюта Q, лежащими на проективных прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.

доказательство

Замечание. Используя доказанную теорему, легко решить следующую задачу на модели Кэли — Клейна. На плоскости Λ2 даны прямая UV и точка А, не лежащая на ней (рис.3-6, а). Построить прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную к прямой UV. На плоскости Р2 строим полюс Р проективной прямой UV и проводим проективную прямую АР, которая пересекает абсолют Q в точках U1, V1 (рис. 3-6, б). По доказанной теореме хорда U1, V1 является искомой прямой плоскости Λ2.

4. Мы отметили, что в интерпретации Кэли — Клейна две расходящиеся прямые изображаются такими хордами абсолюта, что проективные прямые, содержащие эти хорды, пересекаются во внешней точке относительно абсолюта. Выше было доказано, что если две прямые имеют общий перпендикуляр, то они расходятся (§3 Гл.1, теорема 3). Докажем обратную теорему.

Теорема 4. Две расходящиеся прямые UV и U'V' имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Теорема 4. Две расходящиеся прямые UV и U'V' имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Пусть Р и Р' — полюсы проективных прямых UV и U'V’ соответственно, a S — точка пересечения проективных прямых UV и U'V’ на проективной плоскости Р2 (рис. 3-7). Прямая РР' проходит через полюсы прямых UV и U'V’, поэтому по теореме взаимности поляритета проективные прямые UV и U'V’ проходят через полюс прямой РР'. Но UV∩U'V’=S, следовательно, S — полюс прямой РР'. По условию S — внешняя точка относительно абсолюта, и, значит, ее поляра — прямая РР' пересекает абсолют в двух точках U0 и V0.

Так как проективная прямая U0V0 проходит через полюсы Р и Р' прямых UV и U'V (рис.3-7), то по теореме 3 U0V0^UV и U0V0^U’V’, т. е. прямая U0V0 на плоскости Λ2 является общим перпендикуляром двух расходящихся прямых UV и U'V’. Такая прямая единственная, так как по этой же теореме искомая хорда абсолюта должна лежать на проективной прямой, проходящей через точки Р и Р', а через две точки проективной плоскости проходит только одна прямая.

Понятие о сферической геометрии

1. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, лежащих на сфере евклидова пространства.

Пусть S — некоторая сфера с центром О радиуса r. Возьмем плоскость s, удаленную от точки О на расстояние, меньшее r. Тогда пересечение плоскости s и сферы S есть окружность, которую назовем большой окружностью, если ОÎs, и малой окружностью, если ОÎs.

В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. Здесь есть определенная аналогия: для любых двух точек А, ВÎS существует большая окружность, проходящая через эти точки. Но есть и отличие: большая окружность единственная только тогда, когда точки А и В не являются диаметрально противоположными. Далее, на плоскости Евклида и на плоскости Лобачевского существуют непересекающиеся прямые, тогда как на сфере любые две различные большие окружности пересекаются в двух точках (диаметрально противоположных).

Известно, что любая большая окружность Q сферы S делит ее на две части, которые называются полусферами, а сама окружность Q — краем этих полусфер. В геометрии на сфере полусфера играет ту же роль, что и полуплоскость в планиметрии.

Пусть А и В — две диаметрально противоположные точки сферы S, АСВ и ADB — две какие-либо полуокружности с концами в точках А и В, а фигура Г — объединение этих полуокружностей (рис.3-8).

Можно показать, что фигура Г делит фигуру S\Г на две части D' и D" (на рис. 3-8 одна из этих частей заштрихована). Каждая из фигур D1=D’ÈГ, D2=D"ÈГ называется двуугольником с вершинами в точках А и В.

Данные полуокружности АСВ и ADB называются сторонами этих двуугольников. Двуугольник — аналог угла на плоскости: двуугольник является или пересечением, или объединением двух полусфер, края которых не совпадают. Ясно, что двуугольник можно рассматривать как пересечение сферы S с двугранным углом С× АВ× D. Линейный угол этого двугранного угла называется углом данного двуугольника. Его можно рассматривать как угол между касательными в точке А (или В) к большим окружностям, содержащим стороны двуугольника. Если этот угол прямой, то двуугольник называется прямоугольным.

Пусть Q1 и Q2 — две большие окружности. Q1∩Q2 ={А,В}. Мы имеем здесь две пары вертикальных двуугольников, высекаемых на сфере S двумя парами вертикальных двугранных углов, полученных при пересечении плоскостей s1ÉQ1 и s2ÉQ2. Если один из этих двуугольников прямоугольный, то и остальные три прямоугольные. В этом случае большие окружности Q1 и Q2 называются перпендикулярными: Q1^Q2. Ясно, что окружности Q1 и Q2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда плоскости s1 и s2 перпендикулярны.

Если Q — большая окружность, а АВ — диаметр сферы, перпендикулярный к плоскости этой окружности, то точки А и В называются полюсами окружности Q. Если точка M1 не является полюсом окружности Q, то существует, и притом единственная, большая окружность Q2, проходящая через точку M1 и перпендикулярная окружности Q. Чтобы получить эту окружность Q2, надо пересечь сферу S плоскостью, которая проходит через прямую ОМ1 перпендикулярно плоскости окружности Q1. Если же точка M1 является полюсом большой окружности Q1, то любая большая окружность, проходящая через точку M1, перпендикулярна окружности Q1. В этом снова проявляется отличие сферической геометрии от геометрии на евклидовой плоскости (или на плоскости Лобачевского), где через любую точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной прямой.

2. Возьмем две точки A,BÎS и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис. 3-9). Окружность Q является объединением двух своих дуг и с концами в точках А и В. Длина той из этих двух дуг, которая не больше полуокружности, называется сферическим расстоянием между точками А и В и обозначается через d(A,B). Следовательно, для любых двух точек сферы S имеем d(A,B)£pr.

 Скачать реферат