Непрерывность функции на интервале и на отрезке

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=\lim_{i\to\infty}K=K,$

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции $ f(x)$,

$\displaystyle \lim\l<p>imits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_0).$

Значит, $ f(x_0)=K$, так что точка $ x_0$принадлежит множеству $ M$и $ x_0=\min M$.

В случае, когда множество $ M$задано неравенством $ f(x)\leqslant K$, мы имеем $ f(x_i)\leqslant K$при всех $ i=1,2,\dots$и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\leqslant K,$

откуда $ f(x_0)\leqslant K$, что означает, что $ x_0\in M$и $ x_0=\min M$. Точно так же в случае неравенства $ f(x)\geqslant K$переход к пределу в неравенстве даёт AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\geqslant K,$

откуда $ f(x_0)\geqslant K$, $ x_0\in M$и $ x_0=\min M$.

Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда $ f$ограничена на $ [a;b]$, то есть существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$при всех $ x\in[a;b]$.

Рис.3.23. Непрерывная на отрезке функция ограничена

Доказательство. Предположим обратное: пусть $ f(x)$не ограничена, например, сверху. Тогда все множества $ {M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+1\}}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+2\},\dots}$, $ {M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+i\},\dots}$, не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств $ M_i$имеется наименьшее значение $ x_i$, $ i=1,2,\dots$. Покажем, что

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\dots<x_i<\dots.$

Действительно, $ f(x_1)=f(a)+1>f(a)$. Если какая-либо точка из $ x_2,x_3,\dots$, например $ x_i$, лежит между $ x_0$и $ x_1$, то

$\displaystyle f(x_0)=f(a)<f(x_1)=f(a)+1<f(x_i)=f(a)+i,$

то есть $ f(a)+1$- промежуточное значение между $ f(x_0$и $ f(x_i)$. Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка $ x_*\in(x_0;x_i)$, такая что $ f(x_*)=f(a)+1$, и $ x_*\in M_1$. Но $ x_*<x_i<x_1$, вопреки предположению о том, что $ x_1$- наименьшее значение из множества $ M_1$. Отсюда следует, что $ x_i>x_1$при всех $ i\geqslant 2$.

Точно так же далее доказывается, что $ x_i>x_2$при всех $ i\geqslant 3$, $ x_i>x_3$при всех $ i\geqslant 4$, ит.д. Итак, $ \{x_i\}$- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом $ b$. Поэтому существует $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x'$. Из непрерывности функции $ f(x)$следует, что существует $ \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x')$, но $ f(x_i)=f(a)+i\to+\infty$при $ i\to\infty$, так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция $ f(x)$ограничена сверху.

Страница:  1  2  3  4  5  6 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2020 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы